APP Traitement du Signal — Révision Complète

🎯 Stratégie QCM à Points Négatifs

Quand répondre ? Si tu peux éliminer au moins 2 choix sur 4 avec certitude, réponds. Sinon, abstiens-toi (0 vaut mieux que −1).
Méthode des 3 passes : (1) Réponds aux questions faciles en <30s. (2) Reviens sur les questions où tu hésites entre 2 choix. (3) Vérifie les calculs pour les questions numériques.
Pièges classiques : Confondre dB et dBm, oublier le facteur ½ dans la puissance d'un sinus, croire que $f_0$ et $\varphi$ influencent $P$ ou $X_{eff}$, confondre $q^2/12$ avec $q^2/6$.
Gestion du temps : ~1min30 par question. Si tu bloques, passe. L'exam est un marathon, pas un sprint.

Sommaire Rapide

Bloc 01 — Puissance Bloc 02 — Échantillonnage Bloc 03 — dB / dBm Bloc 04 — Corrélation Bloc 05 — Fourier Bloc 06 — Quantification Bloc 07 — FIR 📋 Fiche Mémo 📝 Annales

Puissance, Moyenne & Valeur Efficace

📖 Comprendre

Pour un signal sinusoidal $x(t) = A_0 + A \cdot \cos(2\pi f_0 t + \varphi)$ :

Moyenne (composante continue) : $\overline{x} = A_0$
Puissance : $$P = A_0^2 + \frac{A^2}{2}$$
Valeur efficace (RMS) : $$X_{eff} = \sqrt{P} = \sqrt{A_0^2 + \frac{A^2}{2}}$$

🔑 Regle d'or : $f_0$ et $\varphi$ n'interviennent JAMAIS dans le calcul de $P$ ou $X_{eff}$. Si tu vois $f_0$ ou $\varphi$ dans une reponse, c'est un piege !

Signal carre : $P = r_1 V_1^2 + r_2 V_2^2$ ou $r_i$ = proportion du temps passe au niveau $V_i$.

📐 Formules Cles

Grandeur	Formule	Notes
Puissance sinus pur	$P = A^2/2$	$A_0=0$
Puissance sinus + DC	$P = A_0^2 + A^2/2$	Cas general
RMS	$X_{eff} = \sqrt{P}$	Toujours $\ge 0$
Signal carre	$P = \sum r_i V_i^2$	$\sum r_i = 1$
Moyenne	$\overline{x} = A_0$	Indep. de $f_0$, $\varphi$

🧠 Methodes & Astuces

🅿️ Mnemo « PAC » : Puissance = A₀² + A²/2 pour un signal Cosinusoidal.

📏 Verification dimensionnelle : La puissance est en [unite]². Si on te propose une puissance en Volt (et pas Volt²), c'est faux.

⚡ Reflexe examen : Signal sinusoidal → $P=A^2/2$. Signal carre → moyenne ponderee des $V_i^2$. Jamais besoin de $f_0$ !

QCM — Bloc 01

1$x(t) = 3.5 \cos(2\pi \cdot 440t + \pi/3)$. Quelle est sa puissance ?

A) 12.25 W

B) 6.125 W ✅

C) 3.5 W

D) 7 W

✅ Reponse B : $P = A^2/2 = (3.5)^2/2 = 12.25/2 = 6.125\ \text{W}$.
⚠️ Piege A : Oublier de diviser par 2 (prendre $A^2$ au lieu de $A^2/2$).
⚠️ Piege C : Confondre amplitude et puissance.
⚠️ Note : $f_0=440\ \text{Hz}$ et $\varphi=\pi/3$ ne servent a rien !

2$x(t) = -1.8 + 4\sin(2\pi \cdot 1000t)$. Quelle est la moyenne du signal ?

A) 0 V

B) 2.2 V

C) −1.8 V ✅

D) 4 V

✅ Reponse C : La moyenne d'un sinus (ou cosinus) sur une periode est zero. Il ne reste que la composante continue $A_0 = -1.8\ \text{V}$.
⚠️ Piege : Ne pas se laisser perturber par le signe negatif. La moyenne est bien −1.8 V.

3Signal carre : +3 V pendant 40% du temps, −2 V pendant 60% du temps. Puissance ?

A) 4.8 W

B) 6.0 W ✅

C) 2.5 W

D) 5.0 W

✅ Reponse B : $P = r_1 V_1^2 + r_2 V_2^2 = 0.4 \times 9 + 0.6 \times 4 = 3.6 + 2.4 = 6.0\ \text{W}$.
⚠️ Piege A : Utiliser $r_i V_i$ au lieu de $r_i V_i^2$ (oublier de mettre au carre).

4Un signal a une puissance $P = 8\ \text{W}$. Sa valeur efficace (RMS) est :

A) 4 V

B) 64 V

C) $\sqrt{8} \approx 2.83\ \text{V}$ ✅

D) 8 V

✅ Reponse C : $X_{eff} = \sqrt{P} = \sqrt{8} \approx 2.83\ \text{V}$.
⚠️ Piege B : Confondre $X_{eff}$ et $X_{eff}^2$. Le RMS est la racine de la puissance.

5Pour $x(t) = 2 + 3\cos(\omega t)$, laquelle de ces affirmations est FAUSSE ?

A) La moyenne vaut 2 V

B) La puissance vaut $4 + 4.5 = 8.5\ \text{W}$

C) La puissance depend de $\omega$ ✅ (FAUX)

D) $X_{eff} = \sqrt{8.5} \approx 2.92\ \text{V}$

✅ Reponse C (est FAUSSE) : Ni $f_0$ ni $\omega$ n'interviennent dans le calcul de la puissance ou du RMS. C'est un des pieges les plus frequents a l'examen.

⚠️ Pieges Vrai/Faux — Bloc 01

« La puissance d'un sinus depend de sa frequence. » → FAUX. $P = A^2/2$, independant de $f_0$.
« $X_{eff} = P^2$. » → FAUX. $X_{eff} = \sqrt{P}$. Ne pas confondre puissance et valeur efficace.
« Pour un signal carre, $P = r_1 V_1 + r_2 V_2$. » → FAUX. La puissance utilise les tensions au carre.

Échantillonnage

📖 Comprendre

Nyquist-Shannon : $F_e > 2f_{max}$ (inegalite stricte).
Aliasing : $f_a = |F_e - f_0|$. Si $f_0 > F_e/2$, le signal est replie.
Filtre de reconstruction : Passe-bas ideal de coupure $f_c = F_e/2$.
Numerisation = Echantillonnage + Quantification (les 2 etapes !).

📐 Formules

Concept	Formule
Shannon (condition)	$F_e > 2f_{max}$
Frequence de Nyquist	$f_N = F_e/2$
Frequence alias	$f_a = \|F_e - f_0\|$
Pas de quantification	$q = 2A/2^b$
Debit binaire	$R = F_e \times b$ (bps)
Decimation (par M)	$F_e' = F_e / M$

🧠 Methodes

🅂🄰🄿 Mnemo « SAP » : Shannon = Strictement superieur a $2f_{max}$ ; Alias = $|F_e - f_0|$ ; Pas $q = 2A/2^b$.

Reflexe examen — Aliasing : Si $f_0 > F_e/2$ → repliement. Frequence reconstruite = $|F_e - f_0|$. Exemple : $f_0=7$ kHz, $F_e=10$ kHz → $f_a = |10-7| = 3$ kHz.

QCM — Bloc 02

1$f_0 = 7$ kHz, $F_e = 10$ kHz. Frequence reconstruite apres echantillonnage ?

A) 7 kHz

B) 17 kHz

C) 3 kHz ✅

D) 10 kHz

✅ Reponse C : $f_0 = 7 > F_e/2 = 5$ kHz → aliasing. $f_a = |F_e - f_0| = |10 - 7| = 3$ kHz.

2Signal limite a $[0, 5$ kHz$]$. Quelle $F_e$ evite l'aliasing ?

A) 10 kHz

B) 12 kHz ✅

C) 9 kHz

D) 5 kHz

✅ Reponse B : Condition de Shannon : $F_e > 2f_{max}$, donc $F_e > 10$ kHz. Seul 12 kHz verifie cette condition stricte. 10 kHz n'est pas suffisant ($>$, pas $\ge$).

3$f_{max} = 4$ kHz. $F_e$ minimum pour respecter Shannon ?

A) 8 kHz

B) 4 kHz

C) 8.1 kHz ✅

D) 16 kHz

✅ Reponse C : $F_e > 2 \times 4 = 8$ kHz. L'inegalite est stricte, donc 8 kHz ne suffit pas. 8.1 kHz est la seule reponse $> 8$ kHz.

4$F_e = 16$ kHz, $b = 8$ bits. Debit binaire ?

A) 64 kbps

B) 128 kbps ✅

C) 256 kbps

D) 16 kbps

✅ Reponse B : $R = F_e \times b = 16\,000 \times 8 = 128\,000$ bps $= 128$ kbps.

5Decimation par $M = 4$, $F_e = 48$ kHz. Nouvelle $F_e'$ ?

A) 48 kHz

B) 24 kHz

C) 12 kHz ✅

D) 192 kHz

✅ Reponse C : $F_e' = F_e / M = 48 / 4 = 12$ kHz. Attention a ne pas multiplier par M !

6Laquelle est FAUSSE ?

A) L'echantillonnage discretise le temps

B) La quantification discretise l'amplitude

C) Numeriser = echantillonner seulement ✅ (FAUX)

D) $F_e$ doit etre $> 2f_{max}$

✅ Reponse C (est FAUSSE) : La numerisation comprend DEUX etapes : l'echantillonnage (discretisation temporelle) ET la quantification (discretisation en amplitude).

7$f_0 = 15$ kHz, $F_e = 20$ kHz. Frequence reconstruite ?

A) 15 kHz

B) 5 kHz ✅

C) 35 kHz

D) 20 kHz

✅ Reponse B : $f_0 = 15 > F_e/2 = 10$ → aliasing. $f_a = |20 - 15| = 5$ kHz.

8$F_e = 10$ kHz, $f_{signal} = 6$ kHz. Frequence alias ?

A) 6 kHz

B) 16 kHz

C) 4 kHz ✅

D) 10 kHz

✅ Reponse C : $f_{signal} = 6 > F_e/2 = 5$ → aliasing. $f_a = |10 - 6| = 4$ kHz.

9Le theoreme de Shannon exige :

A) $F_e \ge 2f_{max}$

B) $F_e > 2f_{max}$ (strict) ✅

C) $F_e = 2f_{max}$

D) $F_e < 2f_{max}$

✅ Reponse B : L'inegalite est stricte ($>$). $F_e = 2f_{max}$ ne suffit pas (cas limite ou la reconstruction n'est pas garantie). C'est un piege classique a l'examen.

10Signal $[0, 4$ kHz$]$, $F_e = 10$ kHz. Nyquist est-il respecte ?

A) Oui, car $10 > 8$ ✅

B) Non, car $10 < 16$

C) Oui, car $10 = 2 \times 5$

D) Non, il faut $F_e = 8$ kHz exactement

✅ Reponse A : $f_{max} = 4$ kHz, $2f_{max} = 8$ kHz. $F_e = 10 > 8$ → condition de Shannon respectee.

⚠️ Pieges Vrai/Faux — Bloc 02

« $F_e \ge 2f_{max}$ est suffisant selon Shannon. » → FAUX. L'inegalite est stricte : $F_e > 2f_{max}$.
« L'aliasing ajoute des frequences qui n'existaient pas. » → Le repliement deplace les frequences, il ne les cree pas.
« La numerisation se limite a l'echantillonnage. » → FAUX. Il faut aussi la quantification.
« Le filtre anti-aliasing est un passe-haut. » → FAUX. C'est un passe-bas qui coupe a $F_e/2$.

dB / dBm

📖 Comprendre

dB = unite relative : dB $= 10\log_{10}(P_1/P_2)$. Compare deux puissances.
dBm = unite absolue : dBm $= 10\log_{10}(P/1\text{ mW})$. $0$ dBm $= 1$ mW.
Regles d'or : $+3$ dB $\approx \times 2$, $+10$ dB $= \times 10$, $-3$ dB $\approx \div 2$, $-10$ dB $= \div 10$.
Operations : dB + dBm = dBm ; dBm − dBm = dB.
Cascade : Les gains en dB s'additionnent.

📐 Valeurs Cles

0 dBm

1 mW

+3 dBm

~2 mW

+6 dBm

~4 mW

+7 dBm

~5 mW

+10 dBm

10 mW

+13 dBm

20 mW

+20 dBm

100 mW

+23 dBm

200 mW

+27 dBm

~500 mW

+30 dBm

1 W

🧠 Methodes

📏 Regle « 3 dB = ×2, 10 dB = ×10 » : Pour convertir mentalement : decompose en sommes de 3 dB et 10 dB. Exemple : $+13$ dB $= +10 + 3$ dB → $10 \times 2 = 20$ mW.

🔗 Calcul en cascade : Gain total = somme des gains en dB. $G_{total} = G_1 + G_2 + G_3 + \dots$

📶 SNR en dB : $SNR_{dB} = P_{signal(dBm)} - P_{bruit(dBm)}$. Resultat en dB.

QCM — Bloc 03

110 mW en dBm ?

A) 0 dBm

B) +10 dBm ✅

C) +20 dBm

D) −10 dBm

✅ Reponse B : $10\log_{10}(10\text{ mW} / 1\text{ mW}) = 10\log_{10}(10) = 10$ dBm.

2+13 dBm en mW ?

A) 13 mW

B) 20 mW ✅

C) 26 mW

D) 10 mW

✅ Reponse B : $13 = 10 + 3$. $+10$ dB $= \times 10$, $+3$ dB $= \times 2$. Donc $1$ mW $\times 10 \times 2 = 20$ mW.
⚠️ Piege A : On ne peut PAS lire directement 13 dBm = 13 mW ! Les dBm ne sont pas lineaires.

3Gain +3 dB puis +10 dB puis −6 dB. Gain total ?

A) +1 dB

B) +7 dB ✅

C) +19 dB

D) −3 dB

✅ Reponse B : $+3 + 10 + (-6) = +7$ dB. En cascade, les dB s'additionnent.

41 W en dBm ?

A) 0 dBm

B) +20 dBm

C) +30 dBm ✅

D) +60 dBm

✅ Reponse C : $1$ W $= 1000$ mW. $10\log_{10}(1000) = 10 \times 3 = 30$ dBm.

5Signal 0 dBm, bruit −20 dBm. SNR ?

A) −20 dB

B) +20 dB ✅

C) 0 dB

D) −40 dB

✅ Reponse B : $SNR = 0 - (-20) = +20$ dB. dBm − dBm = dB.

64 mW en dBm ?

A) +3 dBm

B) +6 dBm ✅

C) +4 dBm

D) 0 dBm

✅ Reponse B : $4 = 2 \times 2$. $+3 + 3 = +6$ dBm. Ou $10\log_{10}(4) \approx 6$ dBm.

7+7 dBm en mW ?

A) 7 mW

B) 5 mW ✅

C) 10 mW

D) 3.5 mW

✅ Reponse B : $7 = 10 - 3$. $+10$ dB $= \times 10$, $-3$ dB $= \div 2$. $1$ mW $\times 10 / 2 = 5$ mW.

80.5 W en dBm ?

A) +24 dBm

B) +27 dBm ✅

C) +30 dBm

D) +33 dBm

✅ Reponse B : $0.5$ W $= 500$ mW. $30$ dBm $= 1$ W $= 1000$ mW. $500$ mW $= 1000/2$ → $30 - 3 = 27$ dBm.

9Gain +3 dB puis +10 dB. Gain lineaire total ?

A) ×13

B) ×20 ✅

C) ×30

D) ×7

✅ Reponse B : $+13$ dB → $10 \times 2 = 20$ en lineaire. $+3$ dB $= \times 2$, $+10$ dB $= \times 10$, produit $= 20$.

10Entree −10 dBm, gain +23 dB. Puissance de sortie en mW ?

A) 10 mW

B) 20 mW ✅

C) 13 mW

D) 5 mW

✅ Reponse B : Sortie = $-10 + 23 = +13$ dBm. $+13$ dBm $= 10 + 3$ → $1$ mW $\times 10 \times 2 = 20$ mW.

⚠️ Pieges — Bloc 03

« +13 dBm = 13 mW. » → FAUX. Les dBm ne sont pas lineaires : $+13$ dBm $= 20$ mW.
« dB + dBm = dB. » → FAUX. dB + dBm = dBm.
« 0 dBm = 0 mW. » → FAUX. $0$ dBm $= 1$ mW. Le 0 dBm n'est pas zero puissance.

Correlation

📖 Comprendre

La correlation mesure la similarite entre deux signaux.
Intercorrelation : $C_{xy}(\tau) = \int x(t)\,y(t+\tau)\,dt$
Signaux periodiques : $C_{xy}(\tau) = \frac{A_x A_y}{2} \cos(2\pi f_0 \tau + \Delta\varphi)$
$C_{xy,max} = A_x A_y / 2$ (amplitude max de la correlation).
Autocorrelation : $C_{xx}(0) = P$ (la puissance du signal !).
La correlation permet de detecter un signal noye dans le bruit.

📐 Formules

Concept	Formule
Intercorrelation	$C_{xy}(\tau) = \int x(t)y(t+\tau)dt$
Autocorrelation en 0	$C_{xx}(0) = P$
$C_{xy,max}$ (sinusoides)	$C_{xy,max} = A_x A_y / 2$
Correlation ↔ convolution	$C_{xy}(\tau) = x(-\tau) * y(\tau)$

🧠 Methodes

🅲 Mnemo « CoCo » : Correlation = Convolution avec $x(-t)$. $C_{xy,max} = A_x A_y / 2$.

Reflexe examen : Si on te demande $C_{xx}(0)$, reponds Puissance $P$. Pour deux sinusoides de meme frequence, $C_{xy,max} = A_1 A_2 / 2$. Si dephasage de $\pm 90^\circ$, $C_{xy}(0) = 0$ (signaux orthogonaux).

QCM — Bloc 04

1$x = A\cos(\omega t)$, $y = B\cos(\omega t + \varphi)$. $C_{xy,max}$ ?

A) $AB$

B) $AB/2$ ✅

C) $A^2/2$

D) $(A+B)/2$

✅ Reponse B : $C_{xy,max} = A_x A_y / 2 = AB/2$.

2$C_{xx}(0)$ est egal a :

A) La moyenne du signal

B) La puissance du signal ✅

C) L'energie du signal

D) Zero

✅ Reponse B : $C_{xx}(0) = \int x^2(t)dt = P$, la puissance du signal.

3Relation entre correlation et convolution :

A) $C_{xy}(\tau) = x(\tau) * y(\tau)$

B) $C_{xy}(\tau) = x(-\tau) * y(\tau)$ ✅

C) $C_{xy}(\tau) = x(\tau) * y(-\tau)$

D) Aucune relation

✅ Reponse B : La correlation est la convolution avec le signal $x$ retourne temporellement : $x(-\tau)$.

4$x(t) = \cos(\omega t)$, $y(t) = \sin(\omega t)$. $C_{xy}(0)$ ?

A) 0.5

B) 0 ✅

C) 1

D) −1

✅ Reponse B : $\cos$ et $\sin$ sont orthogonaux (dephasage de $90^\circ$). $C_{xy}(0) = 0$.

5$x = 2\cos(\omega t)$, $y = 3\cos(\omega t)$. $C_{xy,max}$ ?

A) 6

B) 2.5

C) 3 ✅

D) 5

✅ Reponse C : $C_{xy,max} = 2 \times 3 / 2 = 3$.
⚠️ Piege A : Oublier le facteur 1/2.

⚠️ Pieges — Bloc 04

« $C_{xy,max} = A_x A_y$. » → FAUX. Il y a un facteur 1/2 : $C_{xy,max} = A_x A_y / 2$.
« Correlation et convolution sont identiques. » → FAUX. $C_{xy}(\tau) = x(-\tau) * y(\tau)$, il y a un retournement temporel.
« $C_{xx}(0) = 0$ pour un signal periodique. » → FAUX. $C_{xx}(0) = P > 0$ (sauf signal nul).

Transformee de Fourier

📖 Comprendre

La TF decompose un signal en somme de sinusoides.
TFD (DFT) : version discrete pour signaux echantillonnes.
$\cos(2\pi f_0 t)$ → 2 raies spectrales a $\pm f_0$.
$\exp(j2\pi f_0 t)$ → 1 raie a $f_0$.
Resolution frequentielle : $\Delta f = F_e / N$.
FFT = algorithme rapide de DFT (optimise pour $N$ puissance de 2).
Parseval : l'energie se conserve entre temps et frequence.

📐 Formules

Concept	Formule
Resolution frequentielle	$\Delta f = F_e / N$
Raies pour $\cos$	2 raies ($\pm f_0$)
Raies pour $\exp$	1 raie
Theoreme de Parseval	$\sum \|x[n]\|^2 = \frac{1}{N}\sum \|X[k]\|^2$

🧠 Methodes

Nombre de raies DFT : $\cos$ → 2 raies. $\exp$ complexe → 1 raie. Signal reel quelconque → spectre symetrique (Hermitien).

Fuites spectrales : Si $f_0$ n'est pas un multiple entier de $\Delta f$, on observe des fuites. Un fenetrage (Hamming, Hann) les reduit.

FFT : $N$ doit etre une puissance de 2 pour l'algorithme rapide (sinon la DFT classique fonctionne mais est plus lente).

QCM — Bloc 05

1$\cos(2\pi f_0 t)$, nombre de raies en DFT ?

A) 1

B) 2 ✅

C) 4

D) Une infinite

✅ Reponse B : $\cos(2\pi f_0 t) = \frac{1}{2}(e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t})$ → 2 raies a $\pm f_0$.

2DFT de $[1, 0, 0, 0]$, $N=4$. $X_k$ ?

A) $X_k = 1$ pour tout $k$ ✅

B) $X_0 = 1$, $X_k = 0$ sinon

C) $X_k = 0$ pour tout $k$

D) $X_k = k$

✅ Reponse A : $X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}$. Pour $x = [1,0,0,0]$, seul $n=0$ contribue : $X_k = 1 \cdot e^0 = 1$ pour tout $k$.

3$F_e = 1$ kHz, $N = 1024$. Resolution $\Delta f$ ?

A) 1 Hz

B) $\approx 0.977$ Hz ✅

C) 0.5 Hz

D) 1024 Hz

✅ Reponse B : $\Delta f = F_e / N = 1000 / 1024 \approx 0.977$ Hz.

4Quel signal donne 1 seule raie en DFT ?

A) $\cos(2\pi f_0 n)$

B) $\sin(2\pi f_0 n)$

C) $e^{j2\pi f_0 n}$ ✅

D) $\cos(2\pi f_0 n) + \sin(2\pi f_0 n)$

✅ Reponse C : L'exponentielle complexe a un spectre unilateral (1 raie). Les sinusoides reelles ont 2 raies ($\pm f_0$).

5Pour la FFT, $N$ doit idealement etre :

A) Un nombre premier

B) Une puissance de 2 ✅

C) Un multiple de 3

D) N'importe quel entier

✅ Reponse B : L'algorithme FFT (Cooley-Tukey) est optimal pour $N = 2^m$. La DFT fonctionne pour tout $N$, mais plus lentement.

⚠️ Pieges — Bloc 05

« $\cos$ a une seule raie spectrale. » → FAUX. Un cosinus reel a 2 raies (a $\pm f_0$).
« $\Delta f = N / F_e$. » → FAUX. C'est l'inverse : $\Delta f = F_e / N$.
« La DFT necessite $N$ puissance de 2. » → FAUX. La DFT fonctionne pour tout $N$. Seule la FFT rapide prefere $N = 2^m$.

Quantification

📖 Comprendre

La quantification convertit une amplitude continue en niveaux discrets.
Pas de quantification : $q = 2A/2^b$ ou $[-A, +A]$ est la plage et $b$ le nombre de bits.
Bruit de quantification : $\sigma_q^2 = q^2/12$ (PAS $q^2/6$ !)
SNR : $SNR_{dB} = 6.02b + 1.76$ dB. Chaque bit supplementaire apporte $+6$ dB.
Saturation : si le signal depasse $[-A, +A]$, ecretage → distorsion.

📐 Formules

Grandeur	Formule
Pas de quantification	$q = 2A / 2^b$
Bruit de quantification	$\sigma_q^2 = q^2 / 12$
SNR (sinus pleine echelle)	$SNR = 6.02b + 1.76$ dB
Gain par bit	$+6$ dB/bit
Debit (audio)	$R = F_e \times b \times nb\_canaux$

🧠 Methodes

⚠️ Le piege $q^2/12$ vs $q^2/6$ : Le bruit de quantification est TOUJOURS $q^2/12$. $q^2/6$ n'existe pas dans ce contexte.

SNR par bit : $+6$ dB par bit supplementaire. Pour passer de 45 dB a $>60$ dB → il faut $+15$ dB → environ 3 bits de plus.

Pleine echelle : Si le signal n'utilise que la moitie de la plage, on perd 1 bit effectif → SNR reduit de 6 dB. Amplifier ×2 avant quantification fait gagner 6 dB.

QCM — Bloc 06

1Le bruit de quantification est :

A) $q^2/12$ ✅

B) $q^2/6$

C) $q/12$

D) $q^2/2$

✅ Reponse A : $\sigma_q^2 = q^2/12$. ⚠️ Piege B : $q^2/6$ est une erreur classique.

2$b = 12$ bits. SNR approximatif ?

A) 60 dB

B) $\approx 74$ dB ✅

C) 48 dB

D) 96 dB

✅ Reponse B : $SNR = 6.02 \times 12 + 1.76 = 72.24 + 1.76 \approx 74$ dB.

3SNR = 45 dB pour $b = 10$. On veut $> 60$ dB. Combien de bits ajouter ?

A) 1

B) 2

C) 3 ✅

D) 5

✅ Reponse C : Il faut $>15$ dB de gain. $15/6 = 2.5$ → 3 bits supplementaires. $6.02 \times 3 \approx 18$ dB, ce qui donne $45 + 18 = 63$ dB $> 60$.

4Plage $[-5$ V$, +5$ V$]$, $b = 8$. Pas $q$ ?

A) 0.078 V

B) $\approx 0.039$ V ✅

C) 0.02 V

D) 0.156 V

✅ Reponse B : $q = 2A/2^b = 10/256 \approx 0.039$ V.
⚠️ Piege A : Utiliser $A/2^b$ au lieu de $2A/2^b$.

5Ajouter 1 bit augmente le SNR de :

A) 3 dB

B) $\approx 6$ dB ✅

C) 10 dB

D) 1 dB

✅ Reponse B : $6.02$ dB par bit supplementaire. C'est une regle fondamentale.

6Signal n'utilisant que la moitie de la plage. En amplifiant ×2, le SNR gagne :

A) +6 dB ✅

B) +3 dB

C) +12 dB

D) 0 dB

✅ Reponse A : Utiliser la moitie de la plage = perdre 1 bit effectif = perdre 6 dB. Amplifier ×2 restaure ce bit → gain de 6 dB.

7Retirer 1 bit (passer de $b$ a $b-1$) a pour effet :

A) $q$ double ✅

B) $q$ est divise par 2

C) $q$ ne change pas

D) $q$ est multiplie par 4

✅ Reponse A : $q = 2A/2^b$. Si $b \to b-1$, $2^b \to 2^{b-1} = 2^b/2$ → $q$ double.

8CD audio : $b=16$, $F_e=44.1$ kHz, stereo. Debit ?

A) 705.6 kbps

B) $\approx 1.411$ Mbps ✅

C) 2.822 Mbps

D) 44.1 kbps

✅ Reponse B : $R = 44\,100 \times 16 \times 2 = 1\,411\,200$ bps $\approx 1.411$ Mbps.

9Combien de bits pour coder 128 niveaux ?

A) 6

B) 7 ✅

C) 8

D) 128

✅ Reponse B : $2^7 = 128$ → 7 bits. $2^6 = 64$ (insuffisant), $2^8 = 256$ (surabondant).

10Signal dans $[-A/2, +A/2]$, $b$ bits. SNR effectif vs pleine echelle ?

A) Identique

B) Perte de 6 dB (1 bit) ✅

C) Gain de 6 dB

D) Perte de 3 dB

✅ Reponse B : Amplitude ÷ 2 → puissance ÷ 4 → perte de $10\log_{10}(4) \approx 6$ dB, soit 1 bit effectif.

⚠️ Pieges Vrai/Faux — Bloc 06

« Le bruit de quantification vaut $q^2/6$. » → FAUX. C'est $q^2/12$. LE piege numero 1.
« Ajouter 1 bit double le SNR. » → FAUX. Ajouter 1 bit ajoute 6 dB au SNR, ce qui est une multiplication par 4 en lineaire (pas par 2).
« $q = A/2^b$. » → FAUX. La plage totale est $2A$, donc $q = 2A/2^b$.
« Le SNR de quantification est independant du nombre de bits. » → FAUX. $SNR \propto b$.
« Avec 8 bits on a 128 niveaux. » → FAUX. $2^8 = 256$ niveaux. 128 niveaux → 7 bits.
« La saturation n'affecte pas le signal utile. » → FAUX. L'ecretage cree de la distorsion harmonique.
« $SNR = 6b + 1.76$ (sans le $.02$). » → Proche mais pas exact. La formule exacte est $6.02b + 1.76$.

Filtres Numeriques FIR

📖 Comprendre

FIR = Finite Impulse Response = moyenne mobile ponderee.
Equation : $y(n) = h_0 x(n) + h_1 x(n-1) + h_2 x(n-2) + \dots$
$H(f)$ = reponse en frequence (TF des coefficients $h_i$).
Gain DC : $|H(0)| = |\sum h_i|$ (somme de tous les coefficients).
Gain a Nyquist : $|H(F_e/2)| = |\sum (-1)^i h_i|$ (somme alternee).
Identifier le type de filtre en calculant ces deux valeurs.

📐 Identification du type de filtre

$\|H(0)\|$	$\|H(F_e/2)\|$	Type
$\approx 1$	$\approx 1$	Passe-tout
$\approx 1$	$\approx 0$	Passe-bas
$\approx 0$	$\approx 1$	Passe-haut
$\approx 0$	$\approx 0$	Passe-bande
$\approx 1$	$\approx 1$	Coupe-bande*

* Coupe-bande : $|H(0)|\approx 1$, $|H(F_e/2)|\approx 1$ mais $|H(f)|\approx 0$ au milieu.

🧠 Methodes

🔍 Identifier un filtre en 3 etapes :
1. Calculer $S = \sum h_i$ → $|H(0)|$
2. Calculer $S_{alt} = \sum (-1)^i h_i$ → $|H(F_e/2)|$
3. Lire le type dans le tableau ci-dessus.

Phase lineaire : Si les coefficients sont symetriques ($h_i = h_{N-1-i}$) ou antisymetriques, le filtre a une phase lineaire (pas de distorsion de phase).

QCM — Bloc 07

1Filtre FIR : $h = [1, 1, 1, 1]$. Type ?

A) Passe-haut

B) Passe-bas ✅

C) Passe-bande

D) Passe-tout

✅ Reponse B : $|H(0)| = |1+1+1+1| = 4$ (gain DC eleve). $|H(F_e/2)| = |1-1+1-1| = 0$. Donc passe-bas.

2$h = [1, -1]$. Type de filtre ?

A) Passe-haut ✅

B) Passe-bas

C) Passe-bande

D) Coupe-bande

✅ Reponse A : $|H(0)| = |1 + (-1)| = 0$. $|H(F_e/2)| = |1 - (-1)| = 2$. DC = 0, Nyquist ≠ 0 → passe-haut.

3$h = [1, 0, -1]$. Type ?

A) Passe-bas

B) Passe-haut

C) Passe-bande ✅

D) Passe-tout

✅ Reponse C : $|H(0)| = |1+0-1| = 0$. $|H(F_e/2)| = |1-0-(-1)| = |2| = 2 \neq 0$. Donc $|H(0)|=0$, $|H(F_e/2)| \neq 0$ → passe-haut. Correction : en fait $|H(F_e/2)| = |(-1)^0\cdot1 + (-1)^1\cdot0 + (-1)^2\cdot(-1)| = |1 - 0 - 1| = 0$. Donc les deux sont 0 → passe-bande. ✅

4$y(n) = 0.5x(n) + 0.5x(n-1)$. Ce filtre est un :

A) Passe-bas ✅

B) Passe-haut

C) Passe-bande

D) Derivateur

✅ Reponse A : $h = [0.5, 0.5]$. $|H(0)| = |0.5+0.5| = 1$. $|H(F_e/2)| = |0.5-0.5| = 0$. Passe-bas (moyenneur).

5$h = [1, -2, 1]$. $|H(0)|$ et type ?

A) $|H(0)|=4$, passe-bas

B) $|H(0)|=0$, passe-bande

C) $|H(0)|=2$, passe-haut

D) $|H(0)|=0$, passe-haut ✅

✅ Reponse D : $|H(0)| = |1-2+1| = 0$. $|H(F_e/2)| = |(-1)^0\cdot1 + (-1)^1\cdot(-2) + (-1)^2\cdot1| = |1 + 2 + 1| = 4$. Donc $|H(0)|=0$, $|H(F_e/2)|=4 \neq 0$ → passe-haut.

⚠️ Pieges — Bloc 07

« Un filtre FIR a toujours une phase non-lineaire. » → FAUX. Des coefficients symetriques donnent une phase lineaire.
« $|H(0)| = \sum |h_i|$. » → FAUX. C'est $|\sum h_i|$, pas la somme des valeurs absolues.
« Un filtre avec $|H(0)|=0$ et $|H(F_e/2)|=0$ est un coupe-bande. » → FAUX. C'est un passe-bande.

📋

Fiche Memo / Cheatsheet

Les formules indispensables a connaitre par coeur pour l'examen.

Puissance sinus

$P = A_0^2 + A^2/2$

$f_0$, $\varphi$ sans effet

RMS

$X_{eff} = \sqrt{P}$

Toujours $\ge 0$

Signal carre

$P = \sum r_i V_i^2$

$\sum r_i = 1$

Shannon

$F_e > 2f_{max}$

Strict !

Alias

$f_a = |F_e - f_0|$

Si $f_0 > F_e/2$

$10\log_{10}(P_1/P_2)$

Relatif

dBm

$10\log_{10}(P/1\text{mW})$

0 dBm = 1 mW

+3 dB = ×2

+10 dB = ×10

−3 dB = ÷2

$C_{xy,max}$

$A_x A_y / 2$

Pour sinusoides

$C_{xx}(0)$

$= P$

Puissance

Resolution DFT

$\Delta f = F_e / N$

$N$ = nb points

Pas quantification

$q = 2A / 2^b$

Plage = $2A$

Bruit quantif.

$\sigma_q^2 = q^2/12$

PAS $q^2/6$ !

SNR quantif.

$6.02b + 1.76$ dB

+6 dB/bit

FIR — $|H(0)|$

$|\sum h_i|$

Gain DC

FIR — $|H(F_e/2)|$

$|\sum (-1)^i h_i|$

Gain Nyquist

Debit binaire

$R = F_e \times b$

× nb canaux si stereo

Decimation

$F_e' = F_e / M$

Division par M

📝

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QCM Mixte — 12 Questions (tous blocs confondus)

A1[Bloc 01] $x(t) = 1 + 2\cos(100\pi t)$. Puissance ?

A) 2 W

B) 3 W ✅

C) 5 W

D) 1 W

✅ Reponse B : $P = 1^2 + 2^2/2 = 1 + 2 = 3$ W.

A2[Bloc 02] $f_{max}=8$ kHz. $F_e$ minimale pour eviter l'aliasing ?

A) 8 kHz

B) 16 kHz

C) $>16$ kHz (ex: 16.1 kHz) ✅

D) 4 kHz

✅ Reponse C : $F_e > 2 \times 8 = 16$ kHz. L'inegalite est stricte.

A3[Bloc 03] +7 dBm + gain +13 dB = ? (en dBm)

A) +10 dBm

B) +20 dBm ✅

C) +91 dBm

D) +7 dBm

✅ Reponse B : $+7 + 13 = +20$ dBm. dB + dBm = dBm. $+20$ dBm $= 100$ mW.

A4[Bloc 04] $x(t)=3\cos(\omega t)$, $y(t)=4\cos(\omega t+\pi)$. $C_{xy,max}$ ?

A) 12

B) 6 ✅

C) 0

D) 3.5

✅ Reponse B : $C_{xy,max} = 3 \times 4 / 2 = 6$. Le dephasage $\pi$ ne change pas l'amplitude max.

A5[Bloc 05] Signal $e^{j2\pi \cdot 100 t}$. Nombre de raies DFT ?

A) 2

B) 1 ✅

C) 0

D) Infini

✅ Reponse B : Exponentielle complexe = 1 raie. Cosinus reel = 2 raies.

A6[Bloc 06] $b=14$ bits, plage $[-10$V$,+10$V$]$. $q$ ?

A) 0.61 mV

B) $\approx 1.22$ mV ✅

C) 2.44 mV

D) 0.31 mV

✅ Reponse B : $q = 20 / 2^{14} = 20 / 16384 \approx 0.00122$ V $= 1.22$ mV.

A7[Bloc 07] $h = [0.25, 0.5, 0.25]$. Type de filtre ?

A) Passe-bas ✅

B) Passe-haut

C) Passe-bande

D) Coupe-bande

✅ Reponse A : $|H(0)| = 0.25+0.5+0.25 = 1$. $|H(F_e/2)| = 0.25-0.5+0.25 = 0$. Donc passe-bas (lissage).

A8[Bloc 02+06] $F_e=8$ kHz, signal $[0,3.5$ kHz$]$, $b=10$. Debit ?

A) 35 kbps

B) 80 kbps ✅

C) 40 kbps

D) 8 kbps

✅ Reponse B : $R = 8000 \times 10 = 80\,000$ bps $= 80$ kbps. Shannon respecte ($8 > 7$).

A9[Bloc 03] Signal −3 dBm, amplification +33 dB. Sortie en W ?

A) 0.5 W

B) 1 W ✅

C) 2 W

D) 0.1 W

✅ Reponse B : Sortie = $-3 + 33 = +30$ dBm. $+30$ dBm $= 1$ W.

A10[Bloc 01+05] Signal $x(t)=\cos(2\pi f_0 t)$, $P=0.5$ W. Amplitude $A$ ?

A) 0.5

B) 1 ✅

C) $\sqrt{0.5}$

D) 2

✅ Reponse B : $P = A^2/2 = 0.5$ → $A^2 = 1$ → $A = 1$.

A11[Bloc 07] $h = [1, 0, 0, -1]$. $|H(0)|$ ?

A) 0 ✅

B) 2

C) 1

D) −1

✅ Reponse A : $|H(0)| = |1+0+0-1| = 0$. $|H(F_e/2)| = |1-0+0-(-1)| = 2$ → passe-haut.

A12[Bloc 06] Quel bruit de quantification pour $q = 0.01$ V ?

A) $10^{-4}$

B) $8.33 \times 10^{-6}$ V² ✅

C) $1.67 \times 10^{-5}$ V²

D) $0.01$ V²

✅ Reponse B : $\sigma_q^2 = q^2/12 = 10^{-4}/12 \approx 8.33 \times 10^{-6}$ V².
⚠️ Piege C : $q^2/6$ (erreur classique).

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🎯 Stratégie QCM à Points Négatifs

Sommaire Rapide

Puissance, Moyenne & Valeur Efficace

QCM — Bloc 01

⚠️ Pieges Vrai/Faux — Bloc 01

Échantillonnage

QCM — Bloc 02

⚠️ Pieges Vrai/Faux — Bloc 02

dB / dBm

QCM — Bloc 03

⚠️ Pieges — Bloc 03

Correlation

QCM — Bloc 04

⚠️ Pieges — Bloc 04

Transformee de Fourier

QCM — Bloc 05

⚠️ Pieges — Bloc 05

Quantification

QCM — Bloc 06

⚠️ Pieges Vrai/Faux — Bloc 06

Filtres Numeriques FIR

QCM — Bloc 07

⚠️ Pieges — Bloc 07

Fiche Memo / Cheatsheet

Annales — QCM Mixte Final

🎓 Pret pour l'examen ?

QCM Mixte — 12 Questions (tous blocs confondus)