📈 Statistiques

Module de statistiques descriptives et inférentielles

1. Statistiques Descriptives

La statistique descriptive permet de résumer et de visualiser un jeu de données à l'aide d'indicateurs de tendance centrale et de dispersion.

Indicateurs de Tendance Centrale

🔹 Moyenne arithmétique

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

La moyenne est le centre de gravité de la série statistique. Elle est sensible aux valeurs extrêmes.

Propriétés :

  • $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ (la somme des écarts est nulle)
  • $\bar{x}$ minimise $\sum (x_i - a)^2$

La moyenne $\bar{x}$ d'un échantillon $\\){x_1, x_2, \dots, x_n\\)}$ est donnée par :

$$\bar{x} = \\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

🔹 Médiane

La médiane est la valeur qui partage la série en deux parties égales (50% des valeurs en dessous, 50% au-dessus).

  • n impair : $\tilde{x} = x_{(n+1)/2}$
  • n pair : $\tilde{x} = \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

Avantage : Robuste aux valeurs extrêmes (contrairement à la moyenne).

La médiane partage la série ordonnée en deux effectifs égaux. Si $n$ impair : $Me = x_{(\\frac{n+1}{2})}$ ; si $n$ pair : $Me = \frac{x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}}{2}$.

Indicateurs de Dispersion

La dispersion mesure l'étalement des valeurs autour de la tendance centrale.

🔹 Variance

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. On divise par $n-1$ (estimation non biaisée de la variance de la population).

$$\\sigma^2 = \frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

🔹 Écart-type

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

L'écart-type est dans la même unité que les données (contrairement à la variance).

Règle empirique (distribution normale) :

  • $68\%$ des données dans $[\bar{x} \pm s]$
  • $95\%$ des données dans $[\bar{x} \pm 2s]$
  • $99.7\%$ des données dans $[\bar{x} \pm 3s]$

$\\sigma = \sqrt{\\sigma^2}$. S'exprime dans la même unité que les données.

🔹 Quartiles & IQR

  • Q1 (1er quartile) : 25% des valeurs en dessous
  • Q2 (médiane) : 50% des valeurs en dessous
  • Q3 (3e quartile) : 75% des valeurs en dessous
  • IQR = Q3 - Q1 : Intervalle interquartile (contient 50% des données)

Détection des outliers : $x < Q1 - 1.5 \times IQR$ ou $x > Q3 + 1.5 \times IQR$.

  • Q1 : 25 % des valeurs inférieures.
  • Q2 = médiane.
  • Q3 : 75 %.
  • IQR = $Q3 - Q1$.

🔹 Box Plot

Représente min, Q1, médiane, Q3, max. Moustaches jusqu'à $Q1-1,$!5 IQR$ et $Q3+1,\$!5 IQR$.

2. Statistiques Inférentielles

Les statistiques inférentielles permettent de généraliser les résultats d'un échantillon à toute une population.

Loi Normale $N(\mu, \sigma^2)$

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Propriétés :

Théorème Central Limite (TCL)

Théorème : Pour $n$ variables aléatoires i.i.d. de moyenne $\mu$ et variance $\sigma^2$, la moyenne standardisée tend vers une loi normale quand $n \to \infty$.

$$\bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad\text{pour } n \text{ grand (}n \geq 30\text{)}$$

Importance : Le TCL justifie l'utilisation de la loi normale pour les moyennes d'échantillons, même si la population n'est pas normale.

Intervalle de Confiance

Un intervalle de confiance (IC) donne une plage de valeurs plausibles pour un paramètre de la population.

IC pour la moyenne (écart-type $\sigma$ connu)

$$IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Avec $z_{\alpha/2}$ le quantile de la loi normale centrée réduite.

IC pour la moyenne (écart-type $s$ estimé)

$$IC = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

On utilise la loi de Student à $n-1$ degrés de liberté quand $\sigma$ est inconnu (cas le plus fréquent).

IC pour une proportion

$$IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

Condition : $n \geq 30$ et $n\hat{p} \geq 5$ et $n(1-\hat{p}) \geq 5$.

IC à $(1-\alpha)$ pour $\\mu$ (avec $s$ estimé) :

$$IC = \bar{x} \\pm t_{\alpha/2,\\), n-1} \cdot \\frac{s}{\sqrt{n}}$$

Tests d'Hypothèses

Un test d'hypothèse permet de prendre une décision sur un paramètre de la population à partir d'un échantillon.

Démarche :

  1. $H_0$ : hypothèse nulle (statut quo, égalité)
  2. $H_1$ : hypothèse alternative (ce qu'on cherche à démontrer)
  3. Calcul de la statistique de test
  4. Calcul de la p-valeur ou comparaison au seuil $\alpha$
  5. Décision : rejet ou non de $H_0$

Risques :

  • Risque $\alpha$ (1e espèce) : Rejeter $H_0$ à tort (faux positif). Souvent $\alpha = 5\%$.
  • Risque $\beta$ (2e espèce) : Ne pas rejeter $H_0$ alors qu'elle est fausse (faux négatif).
  • Puissance : $1 - \beta$, probabilité de détecter un effet réel.

Règle de décision :

Si $p\text{-valeur} < \alpha$ → on rejette $H_0$ (résultat statistiquement significatif).

Si $p\text{-valeur} \geq \alpha$ → on ne peut pas rejeter $H_0$.

  • $H_0$ : hypothèse nulle.
  • $H_1$ : hypothèse alternative.
  • $\\alpha$ : seuil de signification (souvent 5 %).
  • p-valeur : si $p < \alpha$, on rejette $H_0$.

Test t de Student

Le test t compare la moyenne d'un échantillon à une valeur de référence (test univarié) ou compare deux échantillons.

$$t_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

Rejet de $H_0$ si $|t_{obs}| > t_{\alpha/2,\, n-1}$ (test bilatéral au seuil $\alpha$).

Conditions d'application :

  • Normalité des données (ou $n \geq 30$)
  • Indépendance des observations

Test t pour deux échantillons appariés :

$$t_{obs} = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

Avec $\bar{d}$ la moyenne des différences et $s_d$ l'écart-type des différences.

$$t_{obs} = \\frac{\bar{x} - \\mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

Rejet de $H_0$ si $|t_{obs}| > t_{\\alpha/2,\(, n-1}$ (bilatéral).

3. Régression Linéaire Simple

La régression linéaire modélise la relation entre une variable explicative $x$ et une variable réponse $y$.

Moindres Carrés

Droite $y = ax + b$ minimisant $\\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$.

$$a = \\frac{\sum(x_i-\\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\\sum(x_i-\bar{x})^2} \\qquad b = \bar{y} - a\\bar{x}$$

Coefficient $R^2$

$$R^2 = 1 - \frac{\\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\\sum (y_i - \bar{y})^2}$$

$R^2 \\in [0, 1]$. Proche de 1 = bon ajustement.

4. Exercices Corrigés

📝 Exercice 1 — Moyenne et écart-type

Notes : 8, 12, 14, 10, 16. Calculez $\bar{x}$, $\\sigma^2$ et $\sigma$.

Moyenne : $\\bar{x} = \frac{8+12+14+10+16}{5} = \\frac{60}{5} = 12$

Variance : $\sigma^2 = \\frac{(8-12)^2+(12-12)^2+(14-12)^2+(10-12)^2+(16-12)^2}{5} = \frac{16+0+4+4+16}{5} = 8$

Écart-type : $\\sigma = \sqrt{8} \\approx 2{,}83$

📝 Exercice 2 — Médiane et quartiles

Série : 3, 7, 8, 12, 15, 18, 22, 25, 30 (9 valeurs).

$n = 9$ (impair), $Me = 15$ (5e valeur).

$Q1 = 7{,}5$, $Q3 = 23{,}5$, $IQR = 16$.

📝 Exercice 3 — Intervalle de confiance

$n = 25$, $\bar{x} = 72$, $s = 8$. IC à 95 % (avec $t_{0{,}025;\\),24} \approx 2{,}064$).

$IC = 72 \\pm 2{,}064 \times \\frac{8}{\sqrt{25}} = 72 \\pm 3{,}30 = [68{,}70$;;\$;75{,}30]$.

📝 Exercice 4 — Test d'hypothèse

Ampoules : $n = 36$, $\bar{x} = 970$, $s = 90$, $\\mu_0 = 1000$, $\alpha = 0{,}05$.

$t_{obs} = \\frac{970-1000}{90/\sqrt{36}} = -2{,}00$. $|t_{obs}| < 2{,}030$ → on ne rejette pas $H_0$.

📝 Exercice 5 — Régression linéaire

Heures ($x$) : 1,2,3,4,5 — Notes ($y$) : 6,9,11,14,16. Calculez $a$, $b$ et prédisez pour 6h.

$\\bar{x}=3$, $\bar{y}=11{,}2$, $a = 2{,}5$, $b = 3{,}7$ → $y = 2{,}5x + 3{,}7$. Pour $x=6$ : $\\hat{y}=18{,}7$.

📝 Exercice 6 — Box Plot

Salaires (k€) : 1,8  2,0  2,1  2,3  2,5  2,7  3,0  3,2  3,8  4,5  7,0

$Me = 2{,}7$, $Q1 = 2{,}1$, $Q3 = 3{,}8$, $IQR = 1{,}7$. Borne sup. = $6{,}35$ → 7,0 k€ est aberrant.

5. QCM — Testez-vous !

Q1 — La médiane de {2, 4, 7, 9, 11} est :
Q2 — La variance est toujours :
Q3 — Si p-valeur = 0,03 et α = 0,05 :
Q4 — Un R² de 0,85 signifie :
Q5 — L'IQR correspond à :
32204 32204