TD2 - Variables Aléatoires Discrètes

TD2 – Variables Aléatoires Discrètes

Étude approfondie des lois classiques : Binomiale, Poisson, Géométrique, et propriétés des variables aléatoires discrètes. Ce TD vous prépare à modéliser des situations réelles et à calculer des probabilités complexes.

Fiche de Révision : Lois Discrètes et Moments

1. Loi Binomiale B(n, p)

Contexte : Nombre de succès dans une suite de n épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p.

$$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \quad \\text{pour } k = 0, 1, \dots, n$$ $$E(X) = np \\quad ; \quad V(X) = np(1-p)$$

2. Loi de Poisson P(λ)

Contexte : Modélisation d'événements rares se produisant à taux constant λ.

$$P(X=k) = e^{-\\lambda} \frac{\\lambda^k}{k!} \quad \\text{pour } k = 0, 1, 2, \dots$$ $$E(X) = \\lambda \quad ; \\quad V(X) = \lambda$$

Approximation : Quand n est grand et p petit (n ≥ 50, p ≤ 0.1, np < 15), B(n,p) ≈ P(λ) avec λ = np.

3. Loi Géométrique G(p)

Contexte : Nombre d'essais nécessaires jusqu'au premier succès (le succès a lieu au k-ème essai).

$$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p \\quad \text{pour } k = 1, 2, 3, \\dots$$ $$E(X) = \frac{1}{p} \\quad ; \quad V(X) = \\frac{1-p}{p^2}$$

Propriété d'absence de mémoire : P(X > m+n | X > m) = P(X > n)

Conseil Méthodologique : Calcul de E(X) et V(X)

Pour une variable aléatoire discrète générale :

$$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) \\quad ; \quad E(X^2) = \\sum x_i^2 P(X=x_i)$$ $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Propriétés importantes : E(aX+b) = aE(X)+b ; V(aX+b) = a²V(X)

Exercices Corrigés Détaillés

Exercice 2.1 - Variable Aléatoire Discrète (TD3-1)

Difficile

Énoncé : On définit une variable aléatoire X comme suit : on lance un dé équilibré. Si le résultat est pair, X = 2. Si le résultat est impair, X prend la valeur du résultat. Déterminer la loi de X, son espérance E(X) et sa variance V(X).

Étape 1 : Détermination de la loi de X

Les valeurs possibles de X sont : x ∈ {1, 2, 3, 5} (les nombres impairs + 2)

Valeur x	Événements correspondants	P(X = x)
1	Dé = 1	1/6
2	Dé = 2, 4 ou 6	3/6 = 1/2
3	Dé = 3	1/6
5	Dé = 5	1/6

Étape 2 : Calcul de E(X)

$$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 1 \\cdot \frac{1}{6} + 2 \\cdot \frac{3}{6} + 3 \\cdot \frac{1}{6} + 5 \\cdot \frac{1}{6}$$ $$E(X) = \\frac{1 + 6 + 3 + 5}{6} = \frac{15}{6} = \\mathbf{2.5}$$

Étape 3 : Calcul de V(X)

D'abord, calculons E(X²) :

$$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 1^2 \\cdot \frac{1}{6} + 2^2 \\cdot \frac{3}{6} + 3^2 \\cdot \frac{1}{6} + 5^2 \\cdot \frac{1}{6}$$ $$E(X^2) = \\frac{1 + 12 + 9 + 25}{6} = \frac{47}{6}$$

Puis calculons V(X) :

$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \\frac{47}{6} - (2.5)^2 = \frac{47}{6} - \\frac{25}{4} = \frac{94 - 75}{12} = \\mathbf{\frac{19}{12} \\approx 1.583}$$

Exercice 2.2 - Comparaison d'Avions (Binomiale) (TD3-2)

Moyen

Énoncé : On compare deux avions : l'avion A a 4 moteurs et l'avion B a 2 moteurs. Chaque moteur a une probabilité p de tomber en panne, indépendamment des autres. Un avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombent en panne. Lequel des deux avions est le plus fiable ? Discuter en fonction de p.

Analyse de l'avion A (4 moteurs) :

Soit X_A ~ B(4, p) le nombre de moteurs en panne. L'avion A arrive si X_A ≤ 1.

$$P(\text{arrivée A}) = P(X_A = 0) + P(X_A = 1) = (1-p)^4 + 4p(1-p)^3$$

Analyse de l'avion B (2 moteurs) :

Soit X_B ~ B(2, p) le nombre de moteurs en panne. L'avion B arrive si X_B = 0.

$$P(\\text{arrivée B}) = P(X_B = 0) = (1-p)^2$$

Comparaison :

On étudie la différence :

$$P(\text{arrivée A}) - P(\\text{arrivée B}) = (1-p)^4 + 4p(1-p)^3 - (1-p)^2$$ $$= (1-p)^2[(1-p)^2 + 4p(1-p) - 1] = (1-p)^2[1 - 2p + p^2 + 4p - 4p^2 - 1]$$ $$= (1-p)^2(2p - 3p^2) = p(1-p)^2(2 - 3p)$$

Conclusion :

Si 0 < p < 2/3 ≈ 0.667, alors P(arrivée A) > P(arrivée B) : l'avion A est plus fiable
Si p > 2/3, alors P(arrivée A) < P(arrivée B) : l'avion B est plus fiable
Si p = 0 ou p = 2/3, les deux avions ont la même fiabilité

Exercice 2.3 - Panne d'Avion (Binomiale) (TD3-2)

Difficile

Énoncé : Un avion possède 4 moteurs. Chaque moteur a une probabilité p = 0.1 de tomber en panne, indépendamment des autres. L'avion tombe en panne si au moins 2 moteurs tombent en panne. Calculer la probabilité que l'avion tombe en panne.

Soit X ~ B(4, 0.1) le nombre de moteurs en panne. L'avion tombe en panne si X ≥ 2.

$$P(\text{panne}) = P(X \\ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$$

Calculons chaque terme :

$$P(X=2) = C_4^2 p^2 (1-p)^2 = 6 \times (0.1)^2 \\times (0.9)^2 = 6 \times 0.01 \\times 0.81 = 0.0486$$ $$P(X=3) = C_4^3 p^3 (1-p)^1 = 4 \times (0.1)^3 \\times 0.9 = 4 \times 0.001 \\times 0.9 = 0.0036$$ $$P(X=4) = C_4^4 p^4 (1-p)^0 = 1 \times (0.1)^4 \\times 1 = 0.0001$$

Donc :

$$P(\text{panne}) = 0.0486 + 0.0036 + 0.0001 = \\mathbf{0.0523}$$

Interprétation : L'avion a environ 5.23% de chances de tomber en panne.

Exercice 2.4 - Clients d'un Magasin (Poisson) (TD3-3)

Moyen

Énoncé : Un magasin reçoit en moyenne λ = 4 clients par jour, le nombre de clients suivant une loi de Poisson. Calculer la probabilité que le magasin reçoive au moins 6 clients un jour donné.

Soit X ~ P(4) le nombre de clients par jour. On cherche P(X ≥ 6).

$$P(X \ge 6) = 1 - P(X \\le 5) = 1 - \sum_{k=0}^{5} P(X=k)$$

Calculons P(X ≤ 5) :

$$P(X \\le 5) = e^{-4} \left(1 + 4 + \\frac{4^2}{2} + \frac{4^3}{6} + \\frac{4^4}{24} + \frac{4^5}{120}\\right)$$ $$= e^{-4} (1 + 4 + 8 + 10.667 + 10.667 + 8.533)$$ $$= e^{-4} \times 42.867 \\approx 0.0183 \times 42.867 \\approx 0.785$$

Donc :

$$P(X \ge 6) \\approx 1 - 0.785 = \mathbf{0.215}$$

Interprétation : Le magasin a environ 21.5% de chances de recevoir au moins 6 clients un jour donné.

Exercice 2.5 - Loi Géométrique (Nouveau)

Moyen

Énoncé : On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de lancers nécessaires.

1. Quelle est la loi de X ? Donner ses paramètres.

2. Calculer la probabilité d'obtenir le premier 6 au 3ème lancer.

3. Calculer la probabilité d'obtenir le premier 6 en au plus 5 lancers.

1. Loi de X :

X suit une loi géométrique de paramètre p = 1/6 (probabilité d'obtenir un 6 à chaque lancer).

$$X \\sim G\left(\\frac{1}{6}\right)$$

2. P(X = 3) :

$$P(X=3) = (1-p)^{2} p = \\left(\frac{5}{6}\\right)^2 \times \\frac{1}{6} = \frac{25}{216} \\approx \mathbf{0.1157}$$

3. P(X ≤ 5) :

$$P(X \\le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - (1-p)^5 = 1 - \left(\\frac{5}{6}\right)^5$$ $$= 1 - \\frac{3125}{7776} = \frac{4651}{7776} \\approx \mathbf{0.5981}$$

Interprétation : On a environ 59.81% de chances d'obtenir au moins un 6 en 5 lancers ou moins.

Quiz TD2 & Exercices Supplémentaires

Fiche d'Exercices Supplémentaires

TD3-1 d/e/f : Calcul d'espérance et variance d'un autre jeu de dés avec des règles différentes.
Loi Géométrique : Calculer P(X ≥ k) pour X ~ G(p) et interpréter le résultat.
Approximation Poisson : Dans une usine, un défaut apparaît avec probabilité 0.01 sur 200 pièces. Approximation par Poisson et calcul de P(au moins 3 défauts).
Loi Binomiale Négative : Nombre d'essais jusqu'au r-ème succès (généralisation de la géométrique).

QUIZ TD2 - Propriétés des Variables Aléatoires

Question 1 : Si X est une variable aléatoire de variance V(X) = 4, que vaut V(3X - 5) ?

Question 2 : Si X ~ B(n, p) et Y ~ B(m, p) sont indépendantes, quelle est la loi de X + Y ?

Question 3 : Si X ~ P(λ) et Y ~ P(μ) sont indépendantes, quelle est la loi de X + Y ?

Réponse 1 :

$$V(3X - 5) = 3^2 V(X) = 9 \\times 4 = \mathbf{36}$$

Réponse 2 :

Si X ~ B(n, p) et Y ~ B(m, p) sont indépendantes, alors X + Y ~ B(n + m, p).

Réponse 3 :

Si X ~ P(λ) et Y ~ P(μ) sont indépendantes, alors X + Y ~ P(λ + μ).

Justification : Ces propriétés de stabilité sont fondamentales pour les lois binomiale et de Poisson.

Exercice 2.6 - Approximation Poisson d'une Binomiale

Moyen

Énoncé : Une usine produit 200 pièces par jour. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est p = 0,01. Soit X le nombre de pièces défectueuses.

1. Quelle est la loi exacte de X ? Donner E(X) et V(X).

2. Par quelle loi peut-on approximer X ? Justifier.

3. Calculer P(X ≥ 3) avec l'approximation.

1. Loi exacte : X ~ B(200, 0,01). E(X)=200×0,01=2, V(X)=200×0,01×0,99=1,98.

2. Approximation : n=200≥50, p=0,01≤0,1, np=2<15 ⇒ Y ~ P(λ=2).

3. Calcul :

$P(X \\ge 3) \approx 1 - P(Y \\le 2) = 1 - e^{-2}\left(1 + 2 + \\frac{2^2}{2!}\right)$ $= 1 - 5e^{-2} \\approx 1 - 0{,}6767 = \mathbf{0{,}3233 \\);(32{,}33\(%)}$

Exercice 2.7 - Espérance d'une Fonction de VA

Moyen

Énoncé : Soit X de loi P(X=0)=0,3, P(X=1)=0,5, P(X=2)=0,2. On pose Y = X² + 2X.

1. Déterminer la loi de Y. 2. Calculer E(Y) de deux façons.

1. Loi de Y : Y ∈ {0, 3, 8} avec P(Y=0)=0,3, P(Y=3)=0,5, P(Y=8)=0,2.

2. E(Y) :

$E(Y) = 0 \\times 0{,}3 + 3 \times 0{,}5 + 8 \\times 0{,}2 = \mathbf{3{,}1}$ $E(X)=0{,}9,\\); E(X^2)=1{,}3,$; E(X^2+2X)=1{,}3+2\\times0{,}9=\mathbf{3{,}1}\$;\checkmark$

Exercice 2.8 - Loi Binomiale : QCM au Hasard

Difficile

Énoncé : Un QCM de 20 questions, 4 choix par question. Un étudiant répond au hasard. Soit X son score. Calculer P(X ≥ 10) et commenter.

X ~ B(20, 0,25). E(X)=5, V(X)=3,75.

$P(X \\ge 10) = \sum_{k=10}^{20} C_{20}^k (0{,}25)^k (0{,}75)^{20-k} \\approx \mathbf{0{,}0139 \\);(1{,}39\%)}$

Même au hasard, ~1,4% de chance d'avoir la moyenne. Sur 100 étudiants, 1 ou 2 réussiraient par chance.

QCM TD2 – 8 Questions

Q1. Si X ~ B(10, 0,3), E(X) vaut :

Q2. La loi de Poisson P(λ) a pour variance :

Q3. Si X ~ G(p), P(X > k) vaut :

Q4. V(aX + b) vaut :

Q5. L'approximation B(n,p) ≈ P(np) est valable quand :

Q6. Si X et Y sont indépendantes, V(X−Y) vaut :

Q7. La propriété d'absence de mémoire caractérise :

Q8. Pour X ~ B(n,p), le maximum de V(X) est atteint pour :

R1 : E(X) = np = 10 × 0,3 = 3.

R2 : V(X) = λ (moyenne et variance égales pour Poisson).

R3 : P(X > k) = (1−p)ᵏ (k échecs consécutifs).

R4 : V(aX + b) = a²V(X). La constante b ne change rien.

R5 : n ≥ 50, p ≤ 0,1, np < 15.

R6 : V(X−Y) = V(X) + V(Y) (Cov=0 car indépendantes).

R7 : La loi géométrique (et exponentielle en continu).

R8 : p = 0,5 car V(X)=np(1−p) est maximale en p=1/2.

Méthodologie : Lois Discrètes

Contexte : n épreuves → Binomiale. Événements rares → Poisson. Premier succès → Géométrique.
Paramètres : n et p pour Binomiale. λ pour Poisson (souvent λ=np). p pour Géométrique.
E(X) et V(X) : Utiliser les formules du cours ou E(X)=ΣxᵢP(X=xᵢ) dans le cas général.
Linéarité : E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=a²V(X).
Stabilité : Binomiales indép. (même p) → Binomiale. Poisson indép. → Poisson.

📊 TD2 – Variables Aléatoires Discrètes