📊 TD2 – Variables Aléatoires Discrètes

Étude approfondie des lois classiques : Binomiale, Poisson, Géométrique, et propriétés des variables aléatoires discrètes.

Probabilités Niveau : Moyen ~2h
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TD2 – Variables Aléatoires Discrètes

Étude approfondie des lois classiques : Binomiale, Poisson, Géométrique, et propriétés des variables aléatoires discrètes. Ce TD vous prépare à modéliser des situations réelles et à calculer des probabilités complexes.

Fiche de Révision : Lois Discrètes et Moments

1. Loi Binomiale B(n, p)

Contexte : Nombre de succès dans une suite de n épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p.

$$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \quad \text{pour } k = 0, 1, \dots, n$$ $$E(X) = np \quad ; \quad V(X) = np(1-p)$$

2. Loi de Poisson P(λ)

Contexte : Modélisation d'événements rares se produisant à taux constant λ.

$$P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \dots$$ $$E(X) = \lambda \quad ; \quad V(X) = \lambda$$

Approximation : Quand n est grand et p petit (n ≥ 50, p ≤ 0.1, np < 15), B(n,p) ≈ P(λ) avec λ = np.

3. Loi Géométrique G(p)

Contexte : Nombre d'essais nécessaires jusqu'au premier succès (le succès a lieu au k-ème essai).

$$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p \quad \text{pour } k = 1, 2, 3, \dots$$ $$E(X) = \frac{1}{p} \quad ; \quad V(X) = \frac{1-p}{p^2}$$

Propriété d'absence de mémoire : P(X > m+n | X > m) = P(X > n)

Conseil Méthodologique : Calcul de E(X) et V(X)

Pour une variable aléatoire discrète générale :

$$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) \quad ; \quad E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$$ $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Propriétés importantes : E(aX+b) = aE(X)+b ; V(aX+b) = a²V(X)

Exercices Corrigés Détaillés

Exercice 2.1 - Variable Aléatoire Discrète (TD3-1)

Difficile

Énoncé : On définit une variable aléatoire X comme suit : on lance un dé équilibré. Si le résultat est pair, X = 2. Si le résultat est impair, X prend la valeur du résultat. Déterminer la loi de X, son espérance E(X) et sa variance V(X).

Étape 1 : Détermination de la loi de X

Les valeurs possibles de X sont : x ∈ {1, 2, 3, 5} (les nombres impairs + 2)

Valeur x Événements correspondants P(X = x)
1 Dé = 1 1/6
2 Dé = 2, 4 ou 6 3/6 = 1/2
3 Dé = 3 1/6
5 Dé = 5 1/6

Étape 2 : Calcul de E(X)

$$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{3}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6}$$ $$E(X) = \frac{1 + 6 + 3 + 5}{6} = \frac{15}{6} = \mathbf{2.5}$$

Étape 3 : Calcul de V(X)

D'abord, calculons E(X²) :

$$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{3}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6}$$ $$E(X^2) = \frac{1 + 12 + 9 + 25}{6} = \frac{47}{6}$$

Puis calculons V(X) :

$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{47}{6} - (2.5)^2 = \frac{47}{6} - \frac{25}{4} = \frac{94 - 75}{12} = \mathbf{\frac{19}{12} \approx 1.583}$$

Exercice 2.2 - Comparaison d'Avions (Binomiale) (TD3-2)

Moyen

Énoncé : On compare deux avions : l'avion A a 4 moteurs et l'avion B a 2 moteurs. Chaque moteur a une probabilité p de tomber en panne, indépendamment des autres. Un avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombent en panne. Lequel des deux avions est le plus fiable ? Discuter en fonction de p.

Analyse de l'avion A (4 moteurs) :

Soit X_A ~ B(4, p) le nombre de moteurs en panne. L'avion A arrive si X_A ≤ 1.

$$P(\text{arrivée A}) = P(X_A = 0) + P(X_A = 1) = (1-p)^4 + 4p(1-p)^3$$

Analyse de l'avion B (2 moteurs) :

Soit X_B ~ B(2, p) le nombre de moteurs en panne. L'avion B arrive si X_B = 0.

$$P(\text{arrivée B}) = P(X_B = 0) = (1-p)^2$$

Comparaison :

On étudie la différence :

$$P(\text{arrivée A}) - P(\text{arrivée B}) = (1-p)^4 + 4p(1-p)^3 - (1-p)^2$$ $$= (1-p)^2[(1-p)^2 + 4p(1-p) - 1] = (1-p)^2[1 - 2p + p^2 + 4p - 4p^2 - 1]$$ $$= (1-p)^2(2p - 3p^2) = p(1-p)^2(2 - 3p)$$

Conclusion :

  • Si 0 < p < 2/3 ≈ 0.667, alors P(arrivée A) > P(arrivée B) : l'avion A est plus fiable
  • Si p > 2/3, alors P(arrivée A) < P(arrivée B) : l'avion B est plus fiable
  • Si p = 0 ou p = 2/3, les deux avions ont la même fiabilité

Exercice 2.3 - Panne d'Avion (Binomiale) (TD3-2)

Difficile

Énoncé : Un avion possède 4 moteurs. Chaque moteur a une probabilité p = 0.1 de tomber en panne, indépendamment des autres. L'avion tombe en panne si au moins 2 moteurs tombent en panne. Calculer la probabilité que l'avion tombe en panne.

Soit X ~ B(4, 0.1) le nombre de moteurs en panne. L'avion tombe en panne si X ≥ 2.

$$P(\text{panne}) = P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$$

Calculons chaque terme :

$$P(X=2) = C_4^2 p^2 (1-p)^2 = 6 \times (0.1)^2 \times (0.9)^2 = 6 \times 0.01 \times 0.81 = 0.0486$$ $$P(X=3) = C_4^3 p^3 (1-p)^1 = 4 \times (0.1)^3 \times 0.9 = 4 \times 0.001 \times 0.9 = 0.0036$$ $$P(X=4) = C_4^4 p^4 (1-p)^0 = 1 \times (0.1)^4 \times 1 = 0.0001$$

Donc :

$$P(\text{panne}) = 0.0486 + 0.0036 + 0.0001 = \mathbf{0.0523}$$

Interprétation : L'avion a environ 5.23% de chances de tomber en panne.

Exercice 2.4 - Clients d'un Magasin (Poisson) (TD3-3)

Moyen

Énoncé : Un magasin reçoit en moyenne λ = 4 clients par jour, le nombre de clients suivant une loi de Poisson. Calculer la probabilité que le magasin reçoive au moins 6 clients un jour donné.

Soit X ~ P(4) le nombre de clients par jour. On cherche P(X ≥ 6).

$$P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5) = 1 - \sum_{k=0}^{5} P(X=k)$$

Calculons P(X ≤ 5) :

$$P(X \le 5) = e^{-4} \left(1 + 4 + \frac{4^2}{2} + \frac{4^3}{6} + \frac{4^4}{24} + \frac{4^5}{120}\right)$$ $$= e^{-4} (1 + 4 + 8 + 10.667 + 10.667 + 8.533)$$ $$= e^{-4} \times 42.867 \approx 0.0183 \times 42.867 \approx 0.785$$

Donc :

$$P(X \ge 6) \approx 1 - 0.785 = \mathbf{0.215}$$

Interprétation : Le magasin a environ 21.5% de chances de recevoir au moins 6 clients un jour donné.

Exercice 2.5 - Loi Géométrique (Nouveau)

Moyen

Énoncé : On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de lancers nécessaires.

1. Quelle est la loi de X ? Donner ses paramètres.

2. Calculer la probabilité d'obtenir le premier 6 au 3ème lancer.

3. Calculer la probabilité d'obtenir le premier 6 en au plus 5 lancers.

1. Loi de X :

X suit une loi géométrique de paramètre p = 1/6 (probabilité d'obtenir un 6 à chaque lancer).

$$X \sim G\left(\frac{1}{6}\right)$$

2. P(X = 3) :

$$P(X=3) = (1-p)^{2} p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx \mathbf{0.1157}$$

3. P(X ≤ 5) :

$$P(X \le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - (1-p)^5 = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^5$$ $$= 1 - \frac{3125}{7776} = \frac{4651}{7776} \approx \mathbf{0.5981}$$

Interprétation : On a environ 59.81% de chances d'obtenir au moins un 6 en 5 lancers ou moins.

Quiz TD2 & Exercices Supplémentaires

Fiche d'Exercices Supplémentaires

  • TD3-1 d/e/f : Calcul d'espérance et variance d'un autre jeu de dés avec des règles différentes.
  • Loi Géométrique : Calculer P(X ≥ k) pour X ~ G(p) et interpréter le résultat.
  • Approximation Poisson : Dans une usine, un défaut apparaît avec probabilité 0.01 sur 200 pièces. Approximation par Poisson et calcul de P(au moins 3 défauts).
  • Loi Binomiale Négative : Nombre d'essais jusqu'au r-ème succès (généralisation de la géométrique).

QUIZ TD2 - Propriétés des Variables Aléatoires

Question 1 : Si X est une variable aléatoire de variance V(X) = 4, que vaut V(3X - 5) ?

Question 2 : Si X ~ B(n, p) et Y ~ B(m, p) sont indépendantes, quelle est la loi de X + Y ?

Question 3 : Si X ~ P(λ) et Y ~ P(μ) sont indépendantes, quelle est la loi de X + Y ?

Réponse 1 :

$$V(3X - 5) = 3^2 V(X) = 9 \times 4 = \mathbf{36}$$

Réponse 2 :

Si X ~ B(n, p) et Y ~ B(m, p) sont indépendantes, alors X + Y ~ B(n + m, p).

Réponse 3 :

Si X ~ P(λ) et Y ~ P(μ) sont indépendantes, alors X + Y ~ P(λ + μ).

Justification : Ces propriétés de stabilité sont fondamentales pour les lois binomiale et de Poisson.

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