TD3 – Variables Aléatoires Continues

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TD3 - Variables Aléatoires Continues

Étude approfondie des densités, fonctions de répartition, Loi Normale, Exponentielle et Inégalité de Tchebychev. Ce TD vous prépare à modéliser des phénomènes continus et à calculer des probabilités pour des variables à densité.

Fiche de Révision : Lois Continues

1. Densité et Fonction de Répartition

Densité : $f_X(x) \ge 0$ et $\\int_{-\infty}^{\\infty} f_X(x) dx = 1$

Probabilité : $P(a \le X \\le b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_{a}^{b} f_X(x) dx$

Relation : $F_X(x) = \\int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt$ et $f_X(x) = \\frac{d}{dx} F_X(x)$

2. Loi Normale $N(\mu, \\sigma^2)$

Densité : $f(x) = \frac{1}{\\sigma\sqrt{2\\pi}} e^{-\frac{(x-\\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Standardisation : $Z = \\frac{X-\mu}{\\sigma} \sim N(0, 1)$

Propriétés : $E(X) = \\mu$, $V(X) = \sigma^2$

3. Loi Exponentielle $E(\\lambda)$

Densité : $f(t) = \lambda e^{-\\lambda t}$ pour $t \ge 0$

Fonction de répartition : $F(t) = P(T \\le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Propriétés : $E(T)=1/\\lambda$, $V(T)=1/\lambda^2$

Absence de mémoire : $P(T > t+s | T > s) = P(T > t)$

Tip : Inégalité de Tchebychev (Majorant Universel)

Pour toute variable aléatoire d'espérance $\\mu$ et variance $\sigma^2$ :

$$P(|X-\\mu| \ge \\epsilon) \le \\frac{\sigma^2}{\\epsilon^2}$$

Cette inégalité donne une borne supérieure pour la probabilité que X s'écarte de son espérance, quelle que soit la loi de X.

Exercices Corrigés Détaillés

Exercice 3.1 - Note Seuil (Loi Normale) (TD2-4)

Difficile

Énoncé : Les notes d'un examen suivent une loi normale $X \sim N(13, 3^2)$. Déterminer la note $x$ nécessaire pour être dans le top 10% (c'est-à-dire $P(X \\ge x) = 0.10$).

Étape 1 : Standardisation

On cherche $x$ tel que $P(X \ge x) = 0.10$, ce qui équivaut à $P(X < x) = 0.90$.

$$P\\left(\frac{X-13}{3} < \\frac{x-13}{3}\right) = 0.90$$

Étape 2 : Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite

On cherche $z$ tel que $P(Z \\le z) = 0.90$, soit $\Phi(z) = 0.90$.

Les tables donnent $z \\approx 1.28$.

Étape 3 : Calcul de la note

$$\frac{x-13}{3} = 1.28 \\implies x = 13 + 1.28 \times 3 = \\mathbf{16.84}$$

Interprétation : Pour être dans le top 10%, il faut obtenir au moins 16.84/20.

Exercice 3.2 - Détermination de Densité (TD3-4)

Moyen

Énoncé : Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité $f_X(x) = ax$ pour $x \in [0, 2]$, et 0 ailleurs.

1. Déterminer la constante $a$ pour que $f_X$ soit bien une densité de probabilité.

2. Calculer l'espérance $E(X)$.

1. Détermination de la constante $a$

Pour que $f_X$ soit une densité de probabilité, elle doit vérifier $\\int_{-\infty}^{\\infty} f_X(x) dx = 1$.

$$\int_{0}^{2} ax dx = a \\left[ \frac{x^2}{2} \\right]_0^2 = a \cdot \\frac{4}{2} = 2a = 1 \implies \\mathbf{a = 1/2}$$

2. Calcul de l'espérance $E(X)$

$$E(X) = \int_{-\\infty}^{\infty} x f_X(x) dx = \\int_{0}^{2} x \cdot \\frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \\int_{0}^{2} x^2 dx$$ $$E(X) = \frac{1}{2} \\left[ \frac{x^3}{3} \\right]_0^2 = \frac{1}{2} \\cdot \frac{8}{3} = \\mathbf{4/3}$$

Vérification : La densité est bien $f_X(x) = \frac{1}{2}x$ pour $x \\in [0, 2]$.

Exercice 3.3 - Garantie (Loi Exponentielle) (TD3-6)

Difficile

Énoncé : La durée de vie $T$ d'un appareil suit une loi exponentielle $E(\lambda)$. Le fabricant garantit que la probabilité de panne dans la première année est au plus de 1% ($P(T \\le 1 \text{ an}) \\le 0.01$). Calculer la durée de vie moyenne minimale $E(T)_{min}$ que doit avoir l'appareil.

Étape 1 : Traduction de la condition

Pour une loi exponentielle, $P(T \le t) = 1 - e^{-\\lambda t}$.

$$P(T \le 1) = 1 - e^{-\\lambda} \le 0.01$$

Étape 2 : Résolution de l'inéquation

$$1 - e^{-\\lambda} \le 0.01 \\implies e^{-\lambda} \\ge 0.99$$ $$-\lambda \\ge \ln(0.99) \\implies \lambda \\le -\ln(0.99) \\approx 0.01005$$

Étape 3 : Calcul de la durée de vie moyenne

Pour une loi exponentielle, $E(T) = \frac{1}{\\lambda}$.

$$E(T)_{min} = \frac{1}{\\lambda_{max}} = \frac{1}{0.01005} \\approx \mathbf{99.5 \\text{ ans}}$$

Interprétation : Pour respecter la garantie, l'appareil doit avoir une durée de vie moyenne d'au moins 99.5 ans.

Quiz TD3 & Exercices Supplémentaires

Fiche d'Exercices Supplémentaires

TD3-5 : Calcul complet de $E(X)$ et $V(X)$ pour la Loi Uniforme $U(a,b)$.
Exam 2018 Ex. 2 : Transformation de V.A. ($Y=g(X)$) : trouver la densité $f_Y(y)$.
Loi Normale : Calculer $P(|X-\mu| < k\\sigma)$ pour différentes valeurs de $k$.
Loi Exponentielle : Étudier la propriété d'absence de mémoire et ses applications.

QUIZ TD3 - Propriétés des Variables Continues

Question 1 : Pour une variable aléatoire continue $X$, que vaut toujours $P(X=x)$ ?

Question 2 : Quelle est la relation entre la fonction de répartition $F_X(x)$ et la densité $f_X(x)$ ?

Question 3 : Si $X \sim N(\\mu, \sigma^2)$, que vaut $P(\\mu - \sigma \\le X \le \\mu + \sigma)$ (environ) ?

Réponse 1 :

$\\mathbf{0}$. Pour une variable aléatoire continue, la probabilité d'une valeur exacte est nulle (seules les plages d'intégration comptent).

Réponse 2 :

$$F_X(x) = \int_{-\\infty}^{x} f_X(t) dt \quad \\text{et} \quad f_X(x) = \\frac{d}{dx} F_X(x)$$

Réponse 3 :

$\mathbf{0.6827}$ (environ 68%). C'est une propriété fondamentale de la loi normale.

Justification : Ces propriétés sont fondamentales pour l'étude des variables aléatoires continues.

Exercice 3.4 - Loi Uniforme Continue

Moyen

Énoncé : Soit X ~ U[0, 10]. 1. Donner f_X(x) et F_X(x). 2. Calculer P(3 ≤ X ≤ 7). 3. Calculer E(X) et V(X).

1. Densité et fonction de répartition :

$f_X(x) = \\frac{1}{10} \text{ pour } x \\in [0,10],\(; 0 \\text{ ailleurs}$ $F_X(x) = \frac{x}{10} \\text{ pour } x \in [0,10]$

2. P(3 ≤ X ≤ 7) :

$P(3 \\le X \le 7) = F_X(7) - F_X(3) = \\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \\mathbf{0{,}4}$

3. Moments :

$E(X) = \frac{a+b}{2} = \\frac{10}{2} = 5,\quad V(X) = \\frac{(b-a)^2}{12} = \frac{100}{12} \\approx 8{,}33$

Exercice 3.5 - Loi Normale : Intervalle Symétrique

Moyen

Énoncé : X ~ N(100, 15²). Déterminer l'intervalle symétrique autour de μ contenant 95% de la probabilité.

On cherche a tel que P(μ−a ≤ X ≤ μ+a) = 0,95.

$P\left(\\left|\frac{X-\\mu}{\sigma}\\right| \le \\frac{a}{\sigma}\\right) = 0{,}95$ $\Phi\\left(\frac{a}{15}\\right) - \Phi\\left(-\frac{a}{15}\\right) = 2\Phi\\left(\frac{a}{15}\\right) - 1 = 0{,}95$ $\Phi\\left(\frac{a}{15}\\right) = 0{,}975 \implies \\frac{a}{15} \approx 1{,}96$ $a = 1{,}96 \\times 15 = 29{,}4$

L'intervalle est donc : [70,6 ; 129,4].

Exercice 3.6 - Inégalité de Tchebychev

Difficile

Énoncé : X a pour espérance 50 et variance 25. Majorer P(|X−50| ≥ 10) par Tchebychev. Comparer avec la loi normale N(50,25).

Tchebychev :

$P(|X-50| \ge 10) \\le \frac{V(X)}{10^2} = \\frac{25}{100} = \mathbf{0{,}25}$

Si X ~ N(50,25) :

$P(|X-50| \\ge 10) = P\left(|Z| \\ge \frac{10}{5}\\right) = 2(1-\Phi(2)) \\approx 2 \times 0{,}0228 = \\mathbf{0{,}0456}$

Tchebychev donne une borne très large (25%) vs la valeur réelle pour une loi normale (~4,6%). Tchebychev est universel mais peu précis.

QCM TD3 – 8 Questions

Q1. Pour une VA continue X, P(X = 3) vaut toujours :

Q2. Si X ~ N(μ, σ²), alors (X−μ)/σ suit :

Q3. P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) pour X ~ N(μ,σ²) vaut environ :

Q4. La loi exponentielle E(λ) a pour espérance :

Q5. La densité de X ~ U[a,b] est :

Q6. F_X(x) et f_X(x) sont liées par :

Q7. Quelle loi possède la propriété d'absence de mémoire ?

Q8. L'inégalité de Tchebychev donne :

R1 : 0. La probabilité d'une valeur ponctuelle est nulle pour une VA continue.

R2 : N(0, 1), la loi normale centrée réduite.

R3 : Environ 95,45% (intervalle μ ± 2σ).

R4 : E(T) = 1/λ.

R5 : f(x) = 1/(b−a) pour x ∈ [a,b], 0 ailleurs.

R6 : F_X(x) = ∫₋∞ˣ f_X(t)dt et f_X(x) = F_X'(x).

R7 : La loi exponentielle (et géométrique en discret).

R8 : P(|X−μ| ≥ ε) ≤ σ²/ε², valable pour toute loi ayant une variance finie.

Méthodologie : Variables Continues

Reconnaître la loi : Support borné → Uniforme. Durée de vie → Exponentielle. Somme de nombreux effets → Normale.
Utiliser F_X et f_X : P(a ≤ X ≤ b) = F(b)−F(a) = ∫ₐᵇ f(x)dx.
Standardiser : Pour la loi normale, toujours centrer-réduire : Z = (X−μ)/σ ~ N(0,1).
Utiliser la table : Φ(z) donne P(Z ≤ z). Φ(−z) = 1−Φ(z). P(−z ≤ Z ≤ z) = 2Φ(z)−1.
Tchebychev : Borne universelle, souvent large. Utile quand la loi est inconnue.

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