TD3 – Variables Aléatoires Continues

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TD3 - Variables Aléatoires Continues

Étude approfondie des densités, fonctions de répartition, Loi Normale, Exponentielle et Inégalité de Tchebychev. Ce TD vous prépare à modéliser des phénomènes continus et à calculer des probabilités pour des variables à densité.

Fiche de Révision : Lois Continues

1. Densité et Fonction de Répartition

Densité : $f_X(x) \ge 0$ et $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$

Probabilité : $P(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_{a}^{b} f_X(x) dx$

Relation : $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt$ et $f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)$

2. Loi Normale $N(\mu, \sigma^2)$

Densité : $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Standardisation : $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$

Propriétés : $E(X) = \mu$, $V(X) = \sigma^2$

3. Loi Exponentielle $E(\lambda)$

Densité : $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ pour $t \ge 0$

Fonction de répartition : $F(t) = P(T \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Propriétés : $E(T)=1/\lambda$, $V(T)=1/\lambda^2$

Absence de mémoire : $P(T > t+s | T > s) = P(T > t)$

Tip : Inégalité de Tchebychev (Majorant Universel)

Pour toute variable aléatoire d'espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$ :

$$P(|X-\mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$$

Cette inégalité donne une borne supérieure pour la probabilité que X s'écarte de son espérance, quelle que soit la loi de X.

Exercices Corrigés Détaillés

Exercice 3.1 - Note Seuil (Loi Normale) (TD2-4)

Difficile

Énoncé : Les notes d'un examen suivent une loi normale $X \sim N(13, 3^2)$. Déterminer la note $x$ nécessaire pour être dans le top 10% (c'est-à-dire $P(X \ge x) = 0.10$).

Étape 1 : Standardisation

On cherche $x$ tel que $P(X \ge x) = 0.10$, ce qui équivaut à $P(X < x) = 0.90$.

$$P\left(\frac{X-13}{3} < \frac{x-13}{3}\right) = 0.90$$

Étape 2 : Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite

On cherche $z$ tel que $P(Z \le z) = 0.90$, soit $\Phi(z) = 0.90$.

Les tables donnent $z \approx 1.28$.

Étape 3 : Calcul de la note

$$\frac{x-13}{3} = 1.28 \implies x = 13 + 1.28 \times 3 = \mathbf{16.84}$$

Interprétation : Pour être dans le top 10%, il faut obtenir au moins 16.84/20.

Exercice 3.2 - Détermination de Densité (TD3-4)

Moyen

Énoncé : Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité $f_X(x) = ax$ pour $x \in [0, 2]$, et 0 ailleurs.

1. Déterminer la constante $a$ pour que $f_X$ soit bien une densité de probabilité.

2. Calculer l'espérance $E(X)$.

1. Détermination de la constante $a$

Pour que $f_X$ soit une densité de probabilité, elle doit vérifier $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$.

$$\int_{0}^{2} ax dx = a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = a \cdot \frac{4}{2} = 2a = 1 \implies \mathbf{a = 1/2}$$

2. Calcul de l'espérance $E(X)$

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx$$ $$E(X) = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \mathbf{4/3}$$

Vérification : La densité est bien $f_X(x) = \frac{1}{2}x$ pour $x \in [0, 2]$.

Exercice 3.3 - Garantie (Loi Exponentielle) (TD3-6)

Difficile

Énoncé : La durée de vie $T$ d'un appareil suit une loi exponentielle $E(\lambda)$. Le fabricant garantit que la probabilité de panne dans la première année est au plus de 1% ($P(T \le 1 \text{ an}) \le 0.01$). Calculer la durée de vie moyenne minimale $E(T)_{min}$ que doit avoir l'appareil.

Étape 1 : Traduction de la condition

Pour une loi exponentielle, $P(T \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$.

$$P(T \le 1) = 1 - e^{-\lambda} \le 0.01$$

Étape 2 : Résolution de l'inéquation

$$1 - e^{-\lambda} \le 0.01 \implies e^{-\lambda} \ge 0.99$$ $$-\lambda \ge \ln(0.99) \implies \lambda \le -\ln(0.99) \approx 0.01005$$

Étape 3 : Calcul de la durée de vie moyenne

Pour une loi exponentielle, $E(T) = \frac{1}{\lambda}$.

$$E(T)_{min} = \frac{1}{\lambda_{max}} = \frac{1}{0.01005} \approx \mathbf{99.5 \text{ ans}}$$

Interprétation : Pour respecter la garantie, l'appareil doit avoir une durée de vie moyenne d'au moins 99.5 ans.

Quiz TD3 & Exercices Supplémentaires

Fiche d'Exercices Supplémentaires

TD3-5 : Calcul complet de $E(X)$ et $V(X)$ pour la Loi Uniforme $U(a,b)$.
Exam 2018 Ex. 2 : Transformation de V.A. ($Y=g(X)$) : trouver la densité $f_Y(y)$.
Loi Normale : Calculer $P(|X-\mu| < k\sigma)$ pour différentes valeurs de $k$.
Loi Exponentielle : Étudier la propriété d'absence de mémoire et ses applications.

QUIZ TD3 - Propriétés des Variables Continues

Question 1 : Pour une variable aléatoire continue $X$, que vaut toujours $P(X=x)$ ?

Question 2 : Quelle est la relation entre la fonction de répartition $F_X(x)$ et la densité $f_X(x)$ ?

Question 3 : Si $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, que vaut $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$ (environ) ?

Réponse 1 :

$\mathbf{0}$. Pour une variable aléatoire continue, la probabilité d'une valeur exacte est nulle (seules les plages d'intégration comptent).

Réponse 2 :

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \quad \text{et} \quad f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)$$

Réponse 3 :

$\mathbf{0.6827}$ (environ 68%). C'est une propriété fondamentale de la loi normale.

Justification : Ces propriétés sont fondamentales pour l'étude des variables aléatoires continues.

Musique d'étude

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