TD4 – Couples de Variables Aléatoires

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TD4 - Couples de Variables Aléatoires

Étude approfondie des lois jointes, marginales, conditionnelles, covariance et loi de la somme. Ce TD vous prépare à analyser des situations impliquant plusieurs variables aléatoires et leurs relations.

Fiche de Révision : Lois Bi-Dimensionnelles

1. Lois Marginales

Discrète : $P(X=x_i) = \sum_j P_{i,j}$

Continue : $f_X(x) = \\int f_{X,Y}(x,y) dy$

2. Lois Conditionnelles

$$P(X=x_i|Y=y_j) = \frac{P_{i,j}}{P(Y=y_j)}$$

3. Covariance et Corrélation

$$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \\quad ; \quad \\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\\sigma_X \sigma_Y}$$

Tip : Test d'Indépendance

Si X et Y sont indépendantes, $Cov(X,Y)=0$. Mais l'inverse est faux (sauf si Gaussien). Vérifiez toujours $P_{i,j} = P(X=x_i)P(Y=y_j)$.

Exercices Corrigés Détaillés

Exercice 4.1 - Lois Marginales Discrètes (TD4-2)

Moyen

Énoncé : Déterminer les lois marginales $P(X=x_i)$ et $P(Y=y_j)$ pour la loi jointe ci-dessous ($\\alpha=0.05$ déjà calculé).

X : -2 (0.45) ; 0 (0.25) ; 1 (0.30). Y : -1 (0.50) ; 1 (0.30) ; 2 (0.20).

Étape 1 : Détermination des lois marginales

Les lois marginales sont obtenues en sommant les probabilités jointes par ligne et par colonne :

X \( Y	-1	1	2	P(X)
-2	0.2	0.2	0.05	0.45
0	0.1	0.1	0.05	0.25
1	0.2	0	0.1	0.30
P(Y)	0.5	0.3	0.2	1

Résultats :

$$P(X=-2) = 0.2+0.2+0.05 = \\mathbf{0.45}$$
$$P(Y=1) = 0.2+0.1+0 = \mathbf{0.30}$$

Exercice 4.2 - Espérance Conditionnelle (TD4-2)

Difficile

Énoncé : Calculer la loi conditionnelle $P(X=x|Y=1)$ puis l'espérance $E(X|Y=1)$.

Étape 1 : Calcul de P(Y=1)

$$P(Y=1) = 0.2 + 0.1 + 0 = 0.3$$

Étape 2 : Calcul des probabilités conditionnelles

$$P(X=-2|Y=1) = \\frac{P(-2, 1)}{P(Y=1)} = \frac{0.2}{0.3} = \\mathbf{2/3}$$
$$P(X=0|Y=1) = \frac{0.1}{0.3} = \\mathbf{1/3}$$
$$P(X=1|Y=1) = \frac{0}{0.3} = \\mathbf{0}$$

Étape 3 : Calcul de l'espérance conditionnelle

$$E(X|Y=1) = (-2) \cdot \\frac{2}{3} + (0) \cdot \\frac{1}{3} + (1) \cdot 0 = \\mathbf{-4/3}$$

Exercice 4.3 - Loi de la Somme $Z=X+Y$ (TD4-2)

Moyen

Énoncé : Déterminer la loi de la V.A. $Z=X+Y$ (en utilisant la loi jointe).

Étape 1 : Détermination des valeurs possibles de Z

Valeurs de $Z$: $x_i + y_j$. $Z \in \\){-3, -1, 0, 1, 2, 3\(}$.

Étape 2 : Calcul des probabilités

$$P(Z=-3) = P(X=-2, Y=-1) = 0.2$$
$$P(Z=-1) = P(X=-2, Y=1) + P(X=0, Y=-1) = 0.2 + 0.1 = \\mathbf{0.3}$$
$$P(Z=0) = P(X=-2, Y=2) + P(X=1, Y=-1) = 0.05 + 0.2 = \mathbf{0.25}$$
$$P(Z=1) = P(X=0, Y=1) = 0.1$$
$$P(Z=2) = P(X=0, Y=2) = 0.05$$
$$P(Z=3) = P(X=1, Y=2) = 0.1$$

Étape 3 : Tableau récapitulatif

Z	-3	-1	0	1	2	3
P(Z)	0.2	0.3	0.25	0.1	0.05	0.1

Exercice 4.4 - Densité Marginale (Continue) (TD4-3)

Difficile

Énoncé : Densité jointe $f_{X,Y}(x,y) = 2xy$ pour $x \\in [0, 1]$ et $y \in [0, 1]$. Déterminer $f_X(x)$.

Étape 1 : Application de la formule

On intègre $f_{X,Y}(x,y)$ sur le domaine de $Y$ ($[0, 1]$) :

$$f_X(x) = \\int_{0}^{1} f_{X,Y}(x,y) dy = \int_{0}^{1} 2xy dy$$

Étape 2 : Calcul de l'intégrale

$$f_X(x) = 2x \\int_{0}^{1} y dy = 2x \left[ \\frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 2x \\cdot \frac{1}{2} = \\mathbf{x} \quad \\text{pour } x \in [0, 1]$$

Vérification :

$$\\int_{0}^{1} f_X(x) dx = \int_{0}^{1} x dx = \\left[ \frac{x^2}{2} \\right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \\frac{1}{2} \neq 1$$

Attention : Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé car la densité marginale n'est pas normalisée. La densité jointe correcte devrait être $f_{X,Y}(x,y) = 4xy$ pour que $f_X(x) = 2x$ et $\\int_{0}^{1} f_X(x) dx = 1$.

Quiz TD4 & Exercices Supplémentaires

Fiche d'Exercices Supplémentaires

TD4-3 (Original) : Densité jointe avec dépendance $y \in [0, 2x]$. Calculer $f_X(x)$ (résultat : $4x^3$).
TD5-2 : Étude d'un vecteur non-gaussien où $Cov(X,Y)=0$ mais $X$ et $Y$ sont dépendantes (contre-exemple).
Loi de la somme : Déterminer la loi de $Z = X + Y$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes et suivent des lois exponentielles.
Covariance et corrélation : Calculer la covariance et le coefficient de corrélation pour différentes lois jointes.

QUIZ TD4 - Variance de la Somme

Question 1 : Que vaut $Var(X+Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

Question 2 : Si $Cov(X,Y) = 0$, peut-on conclure que $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

Question 3 : Comment calcule-t-on $E(XY)$ pour des variables aléatoires discrètes ?

Réponse 1 :

$$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$$ Si X et Y sont indépendantes, $Cov(X,Y) = 0$, donc : $$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$$

Réponse 2 :

Non, $Cov(X,Y) = 0$ n'implique pas l'indépendance de X et Y, sauf dans le cas de variables gaussiennes. Il existe des contre-exemples où la covariance est nulle mais les variables sont dépendantes.

Réponse 3 :

$$E(XY) = \\sum_i \sum_j x_i y_j P(X=x_i, Y=y_j)$$

Justification : Ces propriétés sont fondamentales pour l'étude des couples de variables aléatoires.

Exercice 4.5 - Covariance et Corrélation (Discret)

Moyen

Énoncé : Reprendre la loi jointe de l'exercice 4.1. Calculer Cov(X,Y) et le coefficient de corrélation ρ(X,Y).

Étape 1 : Calcul de E(XY)

$E(XY)=(-2)(-1)(0{,}2)+(-2)(1)(0{,}2)+(-2)(2)(0{,}05)+(0)(-1)(0{,}1)+(0)(1)(0{,}1)+(0)(2)(0{,}05)+(1)(-1)(0{,}2)+(1)(1)(0)+(1)(2)(0{,}1)$ $= 0{,}4 - 0{,}4 - 0{,}2 + 0 + 0 + 0 - 0{,}2 + 0 + 0{,}2 = -0{,}2$

Étape 2 : Calcul de E(X) et E(Y)

$E(X)=(-2)(0{,}45)+(0)(0{,}25)+(1)(0{,}30)=-0{,}9+0+0{,}3=-0{,}6$ $E(Y)=(-1)(0{,}5)+(1)(0{,}3)+(2)(0{,}2)=-0{,}5+0{,}3+0{,}4=0{,}2$

Étape 3 : Cov(X,Y) et ρ(X,Y)

$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0{,}2-(-0{,}6)(0{,}2)=-0{,}2+0{,}12=\\mathbf{-0{,}08}$ $E(X^2)=4(0{,}45)+0+1(0{,}3)=2{,}1,$; V(X)=2{,}1-0{,}36=1{,}74,\$; \sigma_X \\approx 1{,}319$ $E(Y^2)=1(0{,}5)+1(0{,}3)+4(0{,}2)=1{,}6,$; V(Y)=1{,}6-0{,}04=1{,}56,\$; \sigma_Y \\approx 1{,}249$ $\rho(X,Y)=\\frac{-0{,}08}{1{,}319 \times 1{,}249} \\approx \mathbf{-0{,}0486}$

Corrélation très faiblement négative : X et Y sont presque non corrélées.

Exercice 4.6 - Indépendance et Loi Produit

Moyen

Énoncé : Pour la loi jointe de l'exercice 4.1, tester l'indépendance de X et Y.

On vérifie si P(X=xᵢ, Y=yⱼ) = P(X=xᵢ) × P(Y=yⱼ) pour chaque case.

Exemple : P(X=-2, Y=-1) = 0,2. P(X=-2)×P(Y=-1) = 0,45×0,5 = 0,225.

0,2 ≠ 0,225 ⇒ X et Y ne sont pas indépendantes.

Ceci confirme que ρ ≈ −0,0486 ≠ 0, mais attention : corrélation nulle n'implique pas indépendance (sauf cas gaussien).

QCM TD4 – 8 Questions

Q1. Si X et Y sont indépendantes, Cov(X,Y) vaut :

Q2. Var(X+Y) dans le cas général vaut :

Q3. Le coefficient de corrélation ρ est toujours compris entre :

Q4. Si ρ(X,Y) = 0, X et Y sont-elles indépendantes ?

Q5. La loi marginale de X s'obtient à partir de la loi jointe par :

Q6. E(X+Y) vaut toujours :

Q7. Si Y = aX + b avec a > 0, alors ρ(X,Y) = :

Q8. L'espérance conditionnelle E(X|Y=y) est :

R1 : 0. L'indépendance implique la nullité de la covariance.

R2 : Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y).

R3 : −1 ≤ ρ ≤ 1. ρ = ±1 indique une relation linéaire parfaite.

R4 : Pas nécessairement. ρ=0 implique l'indépendance uniquement pour les vecteurs gaussiens.

R5 : En sommant sur l'autre variable : P(X=xᵢ) = Σⱼ P(X=xᵢ, Y=yⱼ).

R6 : E(X+Y) = E(X) + E(Y), toujours, même sans indépendance.

R7 : ρ(X,Y) = 1 (corrélation parfaite positive).

R8 : Une variable aléatoire (fonction de Y) qui donne la moyenne de X sachant Y.

Méthodologie : Couples de VA

Lois marginales : Sommer sur l'autre variable (discret) ou intégrer (continu).
Covariance : Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y). Bilinéaire : Cov(aX+b, cY+d) = ac·Cov(X,Y).
Corrélation : ρ = Cov(X,Y)/(σ_X·σ_Y). Mesure la dépendance linéaire uniquement.
Indépendance : Vérifier P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y) pour toutes les cases.
Somme : E(X+Y) = E(X)+E(Y) toujours. Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) seulement si indépendantes.

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