TD5 – Théorèmes Limites & Estimation

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TD5 - Vecteurs Gaussiens & Covariance

Étude approfondie de la loi normale multivariée, matrice de covariance, non-corrélation et propriétés des vecteurs gaussiens. Ce TD vous prépare à analyser des systèmes multivariés et leurs dépendances.

Fiche de Révision : Lois et Propriétés Gaussiennes

1. Règle d'Or du Gaussien (Cours 5)

Si $(X,Y)$ est un vecteur Gaussien : $X, Y$ indépendantes $\iff Cov(X,Y)=0$.

Attention : Cette équivalence n'est vraie que pour les vecteurs gaussiens. Dans le cas général, la covariance nulle n'implique pas l'indépendance.

2. Matrice de Covariance $V(X,Y)$

$$V(X,Y)=\begin{pmatrix} Var(X) & Cov(X,Y) \\ Cov(X,Y) & Var(Y) \end{pmatrix}$$

La matrice de covariance est toujours symétrique et semi-définie positive.

3. Variance d'une Combinaison Linéaire

$$Var(aX+bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X,Y)$$

Cette formule se généralise à n variables : $Var(\sum a_i X_i) = \sum a_i^2 Var(X_i) + 2\sum_{i<j} a_i a_j Cov(X_i, X_j)$

Tip : Combinaisons linéaires de vecteurs gaussiens

Si $(X,Y)$ est un vecteur Gaussien, toute combinaison linéaire de $X$ et $Y$ est aussi une V.A. gaussienne.

Plus généralement : si $X \sim N(\mu, \Sigma)$ et $A$ est une matrice, alors $AX \sim N(A\mu, A\Sigma A^T)$.

Exercices Corrigés Détaillés

Exercice 5.1 - Variable Centrée Réduite (TD5-1)

Facile

Énoncé : Soit $X \sim N(2, 2^2)$. Calculer $P(0 \le X < 4)$.

Étape 1 : Standardisation

On centre et réduit $T = (X-2)/2 \sim N(0,1)$.

$$P(0 \le X < 4) = P\left(\frac{0-2}{2} \le T < \frac{4-2}{2}\right) = P(-1 \le T < 1)$$

Étape 2 : Utilisation des propriétés de symétrie

$$P(-1 \le T < 1) = P(T<1) - P(T \le -1) = P(T<1) - (1 - P(T \le 1))$$ $$P(-1 \le T < 1) = 2P(T<1) - 1 = 2P(0 \le T < 1)$$

Étape 3 : Utilisation de la table de la loi normale

En utilisant la table $P(T \le 1) \approx 0.8413$ :

$$P(-1 \le T < 1) = 2 \times (0.8413 - 0.5) = 2 \times 0.3413 = \mathbf{0.6826}$$

Interprétation : La probabilité que X soit dans l'intervalle [0,4] est d'environ 68.26%.

Exercice 5.2 - Indépendance et Covariance (TD5-3)

Difficile

Énoncé : Soit $(X, Y)$ un vecteur gaussien avec $Var(X)=4$, $Var(Y)=1$. On définit $U=2X+Y$ et $V=X-3Y$. On sait que $U$ et $V$ sont indépendantes. Déterminer $Cov(X,Y)$.

Étape 1 : Utilisation de la propriété d'indépendance

Pour un vecteur gaussien, l'indépendance est équivalente à la covariance nulle : $Cov(U, V) = 0$.

Étape 2 : Calcul de $Cov(U, V)$

Utilisation de la bilinéarité de la covariance :

$$Cov(U, V) = Cov(2X+Y, X-3Y)$$ $$= 2Cov(X, X) - 6Cov(X, Y) + Cov(Y, X) - 3Cov(Y, Y)$$ $$= 2Var(X) - 5Cov(X, Y) - 3Var(Y)$$

Étape 3 : Résolution de l'équation

On sait que $Cov(U, V) = 0$, $Var(X)=4$, $Var(Y)=1$ :

$$2 \times 4 - 5Cov(X, Y) - 3 \times 1 = 0$$ $$8 - 5Cov(X, Y) - 3 = 0$$ $$5 - 5Cov(X, Y) = 0$$ $$Cov(X,Y) = \mathbf{1}$$

Vérification : Le coefficient de corrélation est $\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 1}} = 0.5$.

Exercice 5.3 - Matrice de Covariance (TD5-3)

Difficile

Énoncé : Calculer la matrice de covariance $V$ du vecteur $(X+Y, 2X-Y)$ avec les données de l'Exercice 5.2 ($Var(X)=4$, $Var(Y)=1$, $Cov(X,Y)=1$).

Étape 1 : Calcul de $Var(X+Y)$

$$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) = 4 + 1 + 2 \times 1 = 7$$

Étape 2 : Calcul de $Var(2X-Y)$

$$Var(2X-Y) = 4Var(X) + Var(Y) - 4Cov(X,Y) = 16 + 1 - 4 \times 1 = 13$$

Étape 3 : Calcul de $Cov(X+Y, 2X-Y)$

$$Cov(X+Y, 2X-Y) = 2Cov(X,X) - Cov(X,Y) + 2Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)$$ $$= 2Var(X) + Cov(X,Y) - Var(Y) = 2 \times 4 + 1 - 1 = 8$$

Étape 4 : Construction de la matrice de covariance

$$V = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 8 & 13 \end{pmatrix}$$

Vérification : La matrice est bien symétrique et définie positive (déterminant = 7×13 - 8×8 = 91 - 64 = 27 > 0).

Exercice 5.4 - Espérance Conditionnelle (TD5-4)

Moyen

Énoncé : Reprendre le couple (X,Y) du TD4-2 (loi jointe donnée). Calculer $E(X|Y \ne 2)$.

Étape 1 : Calcul de $P(Y \ne 2)$

$$P(Y \ne 2) = 1 - P(Y=2) = 1 - 0.20 = 0.80$$

Étape 2 : Calcul des probabilités conditionnelles

$$P(X=-2|Y \ne 2) = \frac{P(X=-2, Y \ne 2)}{0.8} = \frac{0.2+0.2}{0.8} = 0.5$$ $$P(X=0|Y \ne 2) = \frac{P(X=0, Y \ne 2)}{0.8} = \frac{0.1+0.1}{0.8} = 0.25$$ $$P(X=1|Y \ne 2) = \frac{P(X=1, Y \ne 2)}{0.8} = \frac{0.2+0}{0.8} = 0.25$$

Étape 3 : Calcul de l'espérance conditionnelle

$$E(X|Y \ne 2) = (-2)(0.5) + (0)(0.25) + (1)(0.25) = -1 + 0 + 0.25 = \mathbf{-0.75}$$

Interprétation : Sachant que Y n'est pas égal à 2, l'espérance de X est -0.75.

Quiz TD5 & Exercices Supplémentaires

Fiche d'Exercices Supplémentaires

TD5-2 : Étudier le vecteur non-gaussien $Y=\epsilon X$ où $X \sim U(-1,1)$ et $\epsilon$ est un signe aléatoire pour prouver la non-réciproque de la Règle d'Or.
Vecteurs gaussiens : Étudier les propriétés de transformation linéaire des vecteurs gaussiens.
Matrice de covariance : Calculer la matrice de covariance pour des vecteurs de dimension supérieure à 2.
Indépendance et corrélation : Construire des exemples de variables non corrélées mais dépendantes.

QUIZ TD5 - Corrélation et Indépendance

Question 1 : Si $\rho(X,Y)=1/2$, est-ce que $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

Question 2 : Pour un vecteur gaussien $(X,Y)$, que peut-on dire si $Cov(X,Y)=0$ ?

Question 3 : La covariance peut-elle être négative ? Donner une interprétation.

Réponse 1 :

Non. Un coefficient de corrélation non nul ($\ne 0$) indique une dépendance linéaire, donc une dépendance tout court. L'indépendance implique une corrélation nulle, mais la réciproque n'est vraie que pour les vecteurs gaussiens.

Réponse 2 :

Pour un vecteur gaussien, si $Cov(X,Y)=0$, alors $X$ et $Y$ sont indépendantes. C'est la fameuse "règle d'or" des vecteurs gaussiens.

Réponse 3 :

Oui, la covariance peut être négative. Une covariance négative indique que lorsque X augmente, Y a tendance à diminuer, et vice versa.

Justification : Ces propriétés sont fondamentales pour comprendre les relations entre variables aléatoires.

Musique d'étude

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