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Fiche de Révision Complète - Télécommunications

Synthèse des concepts critiques pour les Évaluations, le DM et les Projets. Concentrez-vous sur le calcul en $\text{dBm}/\text{W}$ et la distinction $S/N$ vs $SINR$.

Important : Cette fiche couvre l'ensemble des concepts nécessaires pour réussir vos évaluations en télécommunications. Prenez le temps de comprendre chaque formule et son application pratique.

1. Concepts Fondamentaux en Télécommunications

1.1. Unités et Conversions

En télécommunications, nous utilisons principalement les unités suivantes :

  • dB (décibel) : Rapport logarithmique entre deux puissances : $X_{dB} = 10 \log_{10}(P_1/P_2)$
  • dBm : Puissance par rapport à 1 mW : $P_{dBm} = 10 \log_{10}(P/1\text{mW})$
  • dBW : Puissance par rapport à 1 W : $P_{dBW} = 10 \log_{10}(P/1\text{W})$
  • dBi : Gain d'antenne par rapport à une antenne isotrope
Conversions importantes :
$P_{dBm} = P_{dBW} + 30$
$P_{dBW} = P_{dBm} - 30$
$P(W) = 10^{(P_{dBW}/10)}$
$P(mW) = 10^{(P_{dBm}/10)}$

1.2. Fréquences et Bandes

Les télécommunications utilisent différentes bandes de fréquences selon les applications :

Bande Fréquences Applications
HF 3-30 MHz Radio amateur, communications longue distance
VHF 30-300 MHz FM, télévision, radio marine
UHF 300 MHz - 3 GHz Télévision, téléphonie mobile, Wi-Fi
SHF 3-30 GHz Radar, liaisons par satellite, Wi-Fi 5 GHz
EHF 30-300 GHz Radioastronomie, imagerie médicale

2. Capacité, Débit et Bruit (Théorie de l'Information)

2.1. Théorème de Shannon-Hartley (Capacité Max.)

Débit maximal ($C$) en fonction de la bande passante ($B$) et du rapport Signal/Bruit ($S/N$ en linéaire).

$$C = B \cdot \log_2 \left(1 + \frac{S}{N}\right) \quad \text{(bits/s)}$$

Application : Pour augmenter le débit, on peut soit augmenter la bande passante, soit améliorer le rapport signal/bruit.

Exemple de calcul :

Si $B = 10$ MHz et $S/N = 15$ dB, quelle est la capacité maximale du canal ?

Étape 1 : Conversion du SNR en linéaire
$S/N_{lin} = 10^{(15/10)} = 10^{1.5} \approx 31.62$
Étape 2 : Application de la formule de Shannon
$C = 10 \times 10^6 \times \log_2(1 + 31.62) \approx 10^7 \times \log_2(32.62) \approx 10^7 \times 5.03 \approx 50.3$ Mb/s

2.2. Puissance de Bruit Thermique ($P_{bruit}$)

Le bruit est fonction de la température $T=290\text{ K}$ et de la bande passante $B$.

$$P_{bruit}(\text{W}) = k \cdot T \cdot B \quad \text{ou} \quad P_{bruit}(\text{dBm}) = -174 \text{ dBm} + 10 \cdot \log_{10}(B)$$

Où : $k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$ (constante de Boltzmann)

Tip : Calcul du SNR requis

Pour un débit cible $C_{cible}$, le $S/N$ (en linéaire) est : $S/N = 2^{(C_{cible}/B)} - 1$.

Cette formule permet de déterminer le SNR minimum nécessaire pour atteindre un débit donné avec une bande passante fixe.

3. Antennes et Propagation des Ondes

3.1. Caractéristiques des Antennes

Les principales caractéristiques d'une antenne sont :

  • Gain (dBi) : Capacité à concentrer l'énergie dans une direction
  • Diagramme de rayonnement : Répartition spatiale du rayonnement
  • Ouverture à mi-puissance (HPBW) : Angle où le gain diminue de 3 dB
  • Polarisation : Orientation du champ électrique (verticale, horizontale, circulaire)
  • Impédance : Généralement 50 Ω en télécommunications
Diagramme de rayonnement typique d'une antenne directive

Le diagramme montre le lobe principal (direction de rayonnement maximale) et les lobes secondaires.

3.2. Types d'Antennes

Type d'antenne Gain typique Applications
Isotrope 0 dBi Référence théorique
Dipôle 2.15 dBi Radio AM/FM, télévision
Yagi 8-15 dBi Télévision, radioamateur
Parabolique 20-50 dBi Satellite, liaisons point à point
Panel 12-18 dBi Réseaux cellulaires, Wi-Fi

3.3. Propagation des Ondes Radio

Les ondes radio se propagent selon différents mécanismes :

  • Propagation en ligne droite : Pour les liaisons visibles
  • Diffraction : Contournement des obstacles
  • Réflexion : Rebond sur les surfaces
  • Dispersion : Diffusion par des objets de petite taille

4. Bilan de Liaison, PIRE et SINR

4.1. Puissance Isotrope Rayonnée Équivalente (PIRE)

$$ \text{PIRE}(\text{dBm}) = P_{e}(\text{dBm}) + G_{e}(\text{dBi}) - L_{\text{câbles}} $$

La PIRE représente la puissance que devrait rayonner une antenne isotrope pour produire la même densité de puissance dans la direction de rayonnement maximale.

Exemple de calcul :

Un émetteur a une puissance de 20 W, une antenne avec un gain de 15 dBi, et des pertes en câble de 2 dB. Calculer la PIRE.

Étape 1 : Conversion de la puissance en dBm
$P_e = 20$ W = $10 \log_{10}(20000)$ dBm ≈ 43 dBm
Étape 2 : Calcul de la PIRE
PIRE = 43 dBm + 15 dBi - 2 dB = 56 dBm

4.2. Puissance Reçue (Bilan Général)

$$P_{r}(\text{dBm}) = \text{PIRE}(\text{dBm}) + G_{r}(\text{dBi}) - L_{P}(\text{dB}) - L_{\text{autres}}$$

Ce bilan permet de calculer la puissance reçue en tenant compte de tous les gains et pertes du système.

4.3. Affaiblissements de Propagation

  • Espace Libre (Friis) : $L_{P}(\text{dB}) = 20 \log_{10}(f) + 20 \log_{10}(d) + 20 \log_{10}(4\pi/c)$
  • Modèle Simplifié Indoor/Urban : $L_{P}(d) = L_0 + \alpha \cdot 10 \log_{10}(d)$
  • Okumura-Hata : Modèle plus complexe pour la propagation macro-cellulaire

4.4. SINR (En présence d'interférences $I$)

$$\text{SINR}(\text{linéaire}) = \frac{P_{r}}{P_{bruit} + \sum P_{\text{interférences}}} \quad \text{et} \quad \text{SINR}(\text{dB}) = 10 \cdot \log_{10}(\text{SINR}_{\text{lin}})$$

Attention : Le SINR tient compte à la fois du bruit thermique et des interférences, contrairement au SNR qui ne considère que le bruit.

Note importante : Dans les calculs de SINR, il est essentiel de convertir toutes les puissances en unités linéaires (W ou mW) avant d'effectuer les additions, puis de reconvertir le résultat en dB.

5. Technologies et Dimensionnement (Wi-Fi, Fibre, LTE)

5.1. Fibre Optique (Liaisons Longue Distance)

La Fibre Monomode est essentielle pour les $>50\text{ km}$ car son affaiblissement ($\alpha \approx 0.2\text{ dB/km}$) est très faible. Le calcul de portée maximale est crucial.

$$L_{\max} (\text{km}) = \frac{\text{Marge}(\text{dB})}{\alpha (\text{dB/km})} \quad \text{où Marge} = P_{e} - S_{r} - L_{\text{autres}}$$

Cette formule permet de dimensionner correctement les liaisons fibre optique.

5.2. Architecture Cellulaire (LTE/4G)

Composants principaux : UE (User Equipment), eNB (Station de Base), EPC (Evolved Packet Core). La puissance est souvent répartie par Resource Block (RB).

L'architecture LTE permet une gestion efficace des ressources radio et une qualité de service adaptative.

5.3. Dimensionnement Wi-Fi/Bluetooth

Le dimensionnement Wi-Fi (Projet) se fait en garantissant un niveau de signal minimum (RSSI) à la limite de la zone de couverture (ex: $RSSI_{\min} = -59\text{ dBm}$ pour une bonne qualité). L'affaiblissement permet de déduire la portée réelle.

Pour le Bluetooth, on privilégie la faible consommation d'énergie au détriment de la portée.

5.4. Comparaison des Technologies Sans Fil

Technologie Portée typique Débit max Consommation Applications
Bluetooth 10-100 m 2-3 Mb/s Faible Périphériques, audio
Wi-Fi 50-100 m 100 Mb/s - 1 Gb/s Moyenne Réseaux locaux
ZigBee 10-100 m 250 kb/s Très faible IoT, domotique
LoRa 1-10 km 50 kb/s Très faible IoT longue portée
LTE/4G 1-10 km 100 Mb/s - 1 Gb/s Élevée Téléphonie mobile

Annales Télécom (Exercices Synthèse)

Ces exercices reprennent les concepts vus dans les supports (DM, Projet, APP) avec des contextes différents et une difficulté évolutive.

Exercice A.1 - Architecture et Portée (IoT Résidentiel)

Étape 1/6

Contexte : Un système de domotique doit connecter 100 capteurs dans un bâtiment de $10\text{ m} \times 10\text{ m}$. Chaque passerelle intermédiaire (Gateway) peut supporter 20 capteurs.

  1. Quelle technologie (Bluetooth ou Wi-Fi) est préférée pour la liaison **capteur $\rightarrow$ Gateway** ? Justifiez en une phrase.
  2. Combien de **Gateways** sont nécessaires pour connecter tous les capteurs ?
  3. Si le bâtiment est un carré de $10\text{ m} \times 10\text{ m}$, quelle est la distance maximale $d_{\max}$ entre le centre (position de la Gateway) et un coin ?
  1. La technologie préférée est le **Bluetooth** (ou autre LPWAN comme ZigBee) car elle offre une **faible consommation d'énergie** pour une courte portée, ce qui est essentiel pour les capteurs sur batterie.
  2. Nombre de Gateways : $N = \lceil 100 / 20 \rceil = \mathbf{5}$ Gateways.
  3. La distance maximale est la demi-diagonale : $d_{\max} = \frac{\sqrt{10^2 + 10^2}}{2} = \frac{\sqrt{200}}{2} \approx \mathbf{7.07\text{ m}}$.

Exercice A.2 - Antenne et PIRE (Lien 5G fixe)

Étape 2/6

Contexte : Une antenne 5G directionnelle opère à $3.5\text{ GHz}$. Elle a un gain $G_e = 17\text{ dBi}$ et l'amplificateur fournit $P_e = 40\text{ W}$. Les pertes par câble sont estimées à $L_{\text{câbles}} = 2\text{ dB}$.

  1. Calculer la **Puissance Isotrope Rayonnée Équivalente ($\text{PIRE}$) en $\text{dBm}$**.
  2. Si l'affaiblissement est de $110\text{ dB}$ et le récepteur a un gain $G_r=0\text{ dBi}$, quelle est la puissance reçue $P_r$ en $\text{dBm}$ ?
  3. L'antenne a une ouverture horizontale de $65^{\circ}$ et verticale de $7^{\circ}$. Expliquez la différence d'ouverture.
  1. **Calcul de la PIRE :**
    • $P_e(\text{dBm}) = 10 \log_{10}(40000) \approx 46\text{ dBm}$.
    • $\text{PIRE}(\text{dBm}) = P_e(\text{dBm}) + G_e(\text{dBi}) - L_{\text{câbles}} = 46\text{ dBm} + 17\text{ dBi} - 2\text{ dB} = \mathbf{61\text{ dBm}}$.
  2. **Puissance Reçue :** $$\text{P}_r(\text{dBm}) = \text{PIRE} - L_{P} + G_r = 61\text{ dBm} - 110\text{ dB} + 0\text{ dBi} = \mathbf{-49\text{ dBm}}$$
  3. **Ouverture :** L'ouverture horizontale est large ($65^{\circ}$) pour couvrir une **zone sectorielle** tandis que l'ouverture verticale est très étroite ($7^{\circ}$) pour **concentrer l'énergie au niveau du sol** (évitant les pertes vers le ciel ou trop près du pylône).

Exercice A.3 - Bruit, SINR et Capacité (Réseau de Capteurs 900 MHz)

Étape 3/6

Contexte : Un réseau utilise un canal radio d'une bande passante $B = 5\text{ MHz}$. Le signal utile est reçu à $P_r = -90\text{ dBm}$. Les interférences totales sont $P_I = -93\text{ dBm}$.

  1. Calculer la **puissance de bruit thermique** $P_{\text{bruit}}$ en $\text{dBm}$ (pour $B=5\text{ MHz}$).
  2. Calculer la **puissance totale de bruit et interférences** $N_{\text{tot}}$ en $\text{dBm}$ (Attention aux conversions linéaire/logarithmique).
  3. Déduire le $\text{SINR}$ en $\text{dB}$ et la **capacité théorique $C$** du canal en $\text{Mb/s}$.
  1. **Puissance de Bruit Thermique :** $$P_{\text{bruit}}(\text{dBm}) = -174\text{ dBm} + 10 \cdot \log_{10}(5 \times 10^6) \approx \mathbf{-107\text{ dBm}}$$
  2. **Puissance Totale de Bruit et Interférences :**
    • $P_I(\text{mW}) = 10^{-93/10} \approx 5.01 \times 10^{-10}\text{ mW}$.
    • $P_{\text{bruit}}(\text{mW}) = 10^{-107/10} \approx 2.00 \times 10^{-11}\text{ mW}$.
    • $N_{\text{tot}}(\text{mW}) = P_I + P_{\text{bruit}} \approx 5.21 \times 10^{-10}\text{ mW}$.
    • $N_{\text{tot}}(\text{dBm}) = 10 \log_{10}(5.21 \times 10^{-10}) \approx \mathbf{-92.83\text{ dBm}}$.
  3. **SINR et Capacité :**
    • $\text{SINR}(\text{dB}) = P_r(\text{dBm}) - N_{\text{tot}}(\text{dBm}) = -90 - (-92.83) = \mathbf{2.83\text{ dB}}$.
    • $\text{SINR}_{\text{lin}} = 10^{2.83/10} \approx 1.92$.
    • $C = 5 \text{ MHz} \cdot \log_2(1 + 1.92) \approx 5 \times 10^6 \cdot 1.54 \approx \mathbf{7.7\text{ Mb/s}}$.

Exercice A.4 - Modèle de Propagation (Tiroir Optique 5.8 GHz)

Étape 4/6

Contexte : Une liaison Point-à-Point fixe à $5.8\text{ GHz}$ utilise un modèle d'affaiblissement simplifié : $A(d) = 105 + 40 \log_{10}(d)$ (en $\text{dB}$, $d$ en $\text{km}$). L'émetteur a une $\text{PIRE} = 60\text{ dBm}$. Le récepteur a un seuil de sensibilité $S_r = -70\text{ dBm}$.

  1. Calculer l'affaiblissement maximal $A_{\max}$ admissible par la liaison.
  2. Déterminer la portée maximale $d_{\max}$ de cette liaison en $\text{km}$.
  3. Si l'antenne a un gain de $G_e = 20\text{ dBi}$, quelle est la puissance émise $P_e$ en $\text{W}$ ?
  1. **Affaiblissement maximal admissible :** $$A_{\max}(\text{dB}) = \text{PIRE} - S_r = 60\text{ dBm} - (-70\text{ dBm}) = \mathbf{130\text{ dB}}$$
  2. **Portée maximale :** On résout $A(d_{\max}) = A_{\max}$. $$105 + 40 \log_{10}(d_{\max}) = 130$$ $$40 \log_{10}(d_{\max}) = 25$$ $$\log_{10}(d_{\max}) = 25 / 40 = 0.625$$ $$d_{\max} = 10^{0.625} \approx \mathbf{4.22\text{ km}}$$
  3. **Puissance émise :**
    • $P_e(\text{dBm}) = \text{PIRE} - G_e = 60\text{ dBm} - 20\text{ dBi} = 40\text{ dBm}$.
    • $P_e(\text{W}) = 10^{40/10} / 1000 = 10^4 / 1000 = \mathbf{10\text{ W}}$.

Exercice A.5 - Interconnexion Filaire (Liaison Fibre $100\text{ km}$)

Étape 5/6

Contexte : Deux sites sont séparés par $L = 100\text{ km}$. La liaison utilise une Fibre Monomode ($\alpha = 0.4\text{ dB/km}$). La marge de puissance sans les pertes de fibre est $M_0 = 40\text{ dB}$. La portée maximale d'un segment sans répéteur est $L_{\text{seg}} = 80\text{ km}$.

  1. Calculer l'atténuation totale $A_{\text{tot}}$ due à la fibre sur les $100\text{ km}$.
  2. Le bilan de liaison est-il satisfait sans répéteur ? (Marge restante $= M_0 - A_{\text{tot}}$).
  3. Combien de répéteurs actifs seraient nécessaires pour assurer la liaison ?
  1. **Atténuation totale :** $$A_{\text{tot}} = \alpha \times L = 0.4\text{ dB/km} \times 100\text{ km} = \mathbf{40\text{ dB}}$$
  2. **Bilan sans répéteur :** $$\text{Marge restante} = M_0 - A_{\text{tot}} = 40\text{ dB} - 40\text{ dB} = \mathbf{0\text{ dB}}$$ Le bilan de liaison est **limite** (Marge restante $= 0\text{ dB}$). En pratique, comme la marge doit être $> 0\text{ dB}$ pour couvrir les pertes d'épissures, connecteurs et les variations de température, la liaison **n'est pas satisfaite** de manière fiable sans répéteur.
  3. **Nombre de répéteurs :** $$N_{\text{segments}} = \lceil L / L_{\text{seg}} \rceil = \lceil 100\text{ km} / 80\text{ km} \rceil = 2$$ $$N_{\text{répéteurs}} = N_{\text{segments}} - 1 = 2 - 1 = \mathbf{1}\text{ répéteur}$$

Exercice A.6 - Synthèse (Hôpital)

Étape 6/6

Contexte : Un hôpital utilise 40 canaux Wi-Fi de $40\text{ MHz}$ chacun. La puissance reçue dans une chambre d'opération est $P_r = -65\text{ dBm}$. Le bruit $P_{\text{bruit}}$ est de $-103\text{ dBm}$.

  1. Le débit attendu est de $200\text{ Mb/s}$. Calculer le $\text{SNR}$ (linéaire) minimum requis.
  2. Déduire la **puissance minimale reçue** $P_{r, \min}$ (en $\text{dBm}$) requise si on néglige les interférences.
  3. Si l'affaiblissement à $20\text{ m}$ est de $60\text{ dB}$, quelle est la $\text{PIRE}$ minimale nécessaire pour atteindre le $P_{r, \min}$ de la question 2.
  1. **SNR (linéaire) requis :** $$B = 40\text{ MHz} ; C = 200\text{ Mb/s}$$ $$S/N = 2^{(C/B)} - 1 = 2^{(200/40)} - 1 = 2^5 - 1 = \mathbf{31}\text{ (sans unité)}$$
  2. **Puissance minimale reçue :**
    • $S/N(\text{dB}) = 10 \log_{10}(31) \approx 14.91\text{ dB}$.
    • $P_{r, \min}(\text{dBm}) = S/N(\text{dB}) + P_{\text{bruit}}(\text{dBm})$ (en négligeant $P_I$)
    • $P_{r, \min}(\text{dBm}) = 14.91\text{ dB} + (-103\text{ dBm}) \approx \mathbf{-88.09\text{ dBm}}$.
  3. **PIRE minimale :** $$\text{PIRE}_{\min}(\text{dBm}) = P_{r, \min}(\text{dBm}) + A(\text{dB}) = -88.09\text{ dBm} + 60\text{ dB} \approx \mathbf{-28.09\text{ dBm}}$$

Exercices Supplémentaires

Pour approfondir votre compréhension, voici quelques exercices supplémentaires :

  • Exercice B.1 : Calculer la capacité d'un canal Wi-Fi 6 (802.11ax) avec une bande passante de 160 MHz et un SNR de 25 dB.
  • Exercice B.2 : Dimensionner une liaison fibre optique entre deux bâtiments distants de 25 km avec une marge de sécurité de 3 dB.
  • Exercice B.3 : Comparer les performances d'une antenne parabolique de 1 m de diamètre à 10 GHz avec une antenne panel de 15 dBi.
  • Exercice B.4 : Analyser l'impact des interférences co-canal dans un réseau cellulaire avec réutilisation de fréquences 1/3.